11 класс. Алгебра. Интеграл. Дифференцирование и интегрирование функций.

Производная степенной функции.

ДАЛЬШЕ

Производная степенной функции.

Комментарии преподавателя

Дифференцирование и интегрирование степенной функции с рациональным показателем

1. Введение

Вспомним дифференцирование степенной функции с натуральным показателем.

Пример 1 – найти производную функции:

Пример 2 – найти производную функции в точке:

2. Дифференцирование степенной функции с натуральным основанием, теория, примеры

Вспомним дифференцирование сложной степенной функции с натуральным показателем.

Пример 3 – найти производную функции:

Комментарий: при решении примера была применена формула производной линейной функции

Пример 4 – найти производную функции в точке:

Рассмотрим степенную функцию вида , то есть степенную функцию с отрицательным натуральным показателем. Докажем, что ее производная аналогична функции с положительным показателем степени.

Дано:

Найти:

Напомним, что производная частного определяется по формуле:

В данном случае:

Получили:

Что и требовалось доказать.

Таким образом, можно сделать вывод:

3. Производная степенной функции с рациональным основанием, теория, примеры

Теперь рассмотрим степенную функцию с рациональным показателем.

Производная данной функции аналогична уже рассмотренным производным для натурального и целого показателей. Следующую теорему принимаем без доказательства.

Теорема:

Если и r – любое рациональное число, то производная функции вида вычисляется по формуле:

Пример 5 – найти производную функции:

Пример 6 – найти производную функции в точке:

4. Некоторые факты о первообразной

Перейдем к интегрированию степенной функции с рациональным показателем, для этого сделаем некоторые напоминания.

1. Если , то F(x) – первообразная для f(x);

2. Функция f(x) имеет бесчисленное множество первообразных. Все их семейство можно выразить следующим образом:

3. Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется ее неопределенным интегралом:

Определенный интеграл можно найти по формуле:

5. Интегрирование степенной функции с рациональным основанием, теория, примеры

Пусть задана степенная функция с рациональным показателем.

Доказать:

Другими словами нужно доказать, что в правой части равенства стоит множество всех первообразных подынтегральной функции.

Для этого возьмем производную правой части и покажем, что она равна подынтегральному выражению.

Что и требовалось доказать.

Усложним степенную функцию.

Доказать:

Докажем аналогично предыдущему случаю, возьмем производную от правой части:

Что и требовалось доказать.

Пример 7 – найти неопределенный интеграл:

Выполним проверку. Для этого возьмем производную от полученного выражения:

Получена исходная функция, а значит, неопределенный интеграл найден верно.

Пример 8 – вычислить определенный интеграл:

Итак, мы рассмотрели дифференцирование и интегрирование степенных функций с рациональным показателем. Мы вывели некоторые важные формулы, а также решили несколько простых примеров для закрепления материала.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/integralb/differentsirovanie-i-integrirovanie-stepennoy-funktsii-s-ratsionalnym-pokazatelem

http://www.youtube.com/watch?v=CYrXpSNT_U0

http://www.youtube.com/watch?v=2r_g7Lowq-o

http://metodtest.ru/index.php/kontrolnye-raboty/50-samostoyatelnye-raboty-po-algebre-7-11-klass/623-samostoyatelnaya-rabota-s-10-differentsirovanie-stepennoj-funktsii-s-ratsionalnym-pokazatelem-11-klass.html

http://pioner48.ru/image/cache/data-pioner48-school-shopedu-algebra-7-11-klass-komplekt-16-tablits-7-600x600.jpg

http://www.zaslonim.ru/article/postimg/33930690-svidetelstvo-o-prave-sobstvennosti-na-zemlyu-obrazec.jpg

http://www.mathelp.spb.ru/book1/integral.htm

http://test-training.ru/category/algebra-11-class

http://test-training.ru/news/otvet-k-testam-po-algebre-dlya-11-klassa.html