11 класс. Алгебра. Интеграл. Дифференцирование и интегрирование функций.
11 класс. Алгебра. Интеграл. Дифференцирование и интегрирование функций.
Комментарии преподавателя
Дифференцирование и интегрирование степенной функции с рациональным показателем
1. Введение
Вспомним дифференцирование степенной функции с натуральным показателем.
Пример 1 – найти производную функции:
Пример 2 – найти производную функции в точке:
2. Дифференцирование степенной функции с натуральным основанием, теория, примеры
Вспомним дифференцирование сложной степенной функции с натуральным показателем.
Пример 3 – найти производную функции:
Комментарий: при решении примера была применена формула производной линейной функции
Пример 4 – найти производную функции в точке:
Рассмотрим степенную функцию вида , то есть степенную функцию с отрицательным натуральным показателем. Докажем, что ее производная аналогична функции с положительным показателем степени.
Дано:
Найти:
Напомним, что производная частного определяется по формуле:
В данном случае:
Получили:
Что и требовалось доказать.
Таким образом, можно сделать вывод:
3. Производная степенной функции с рациональным основанием, теория, примеры
Теперь рассмотрим степенную функцию с рациональным показателем.
Производная данной функции аналогична уже рассмотренным производным для натурального и целого показателей. Следующую теорему принимаем без доказательства.
Теорема:
Если и r – любое рациональное число, то производная функции вида вычисляется по формуле:
Пример 5 – найти производную функции:
Пример 6 – найти производную функции в точке:
4. Некоторые факты о первообразной
Перейдем к интегрированию степенной функции с рациональным показателем, для этого сделаем некоторые напоминания.
1. Если , то F(x) – первообразная для f(x);
2. Функция f(x) имеет бесчисленное множество первообразных. Все их семейство можно выразить следующим образом:
3. Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется ее неопределенным интегралом:
Определенный интеграл можно найти по формуле:
5. Интегрирование степенной функции с рациональным основанием, теория, примеры
Пусть задана степенная функция с рациональным показателем.
Доказать:
Другими словами нужно доказать, что в правой части равенства стоит множество всех первообразных подынтегральной функции.
Для этого возьмем производную правой части и покажем, что она равна подынтегральному выражению.
Что и требовалось доказать.
Усложним степенную функцию.
Доказать:
Докажем аналогично предыдущему случаю, возьмем производную от правой части:
Что и требовалось доказать.
Пример 7 – найти неопределенный интеграл:
Выполним проверку. Для этого возьмем производную от полученного выражения:
Получена исходная функция, а значит, неопределенный интеграл найден верно.
Пример 8 – вычислить определенный интеграл:
Итак, мы рассмотрели дифференцирование и интегрирование степенных функций с рациональным показателем. Мы вывели некоторые важные формулы, а также решили несколько простых примеров для закрепления материала.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/integralb/differentsirovanie-i-integrirovanie-stepennoy-funktsii-s-ratsionalnym-pokazatelem
http://www.youtube.com/watch?v=CYrXpSNT_U0
http://www.youtube.com/watch?v=2r_g7Lowq-o
http://metodtest.ru/index.php/kontrolnye-raboty/50-samostoyatelnye-raboty-po-algebre-7-11-klass/623-samostoyatelnaya-rabota-s-10-differentsirovanie-stepennoj-funktsii-s-ratsionalnym-pokazatelem-11-klass.html
http://pioner48.ru/image/cache/data-pioner48-school-shopedu-algebra-7-11-klass-komplekt-16-tablits-7-600x600.jpg
http://www.zaslonim.ru/article/postimg/33930690-svidetelstvo-o-prave-sobstvennosti-na-zemlyu-obrazec.jpg
http://www.mathelp.spb.ru/book1/integral.htm
http://test-training.ru/category/algebra-11-class
http://test-training.ru/news/otvet-k-testam-po-algebre-dlya-11-klassa.html