11 класс. Алгебра. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности.

Бином Ньютона. Формулы числа сочетаний.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Бином Ньютона. Формулы числа сочетаний.

Комментарии преподавателя

Рассмотрение некоторых формул сокращенного умножения

Вспомним некоторые формулы сокращенного умножения.

– формула квадрата суммы. Рассмотрим, как вывести эту формулу.

раскрываем скобки, перемножая почленно:.

Аналогично, для куба суммы:

Раскрываем скобки, почленно перемножая, получаем:

Когда необходимо будет возвести сумму в более высокую степень, умножать почленно скобку на скобку будет проблематично. В этом нам поможет формула бинома Ньютона. По определению, бином – это двучлен, то есть сумма двух слагаемых.

Доказательство формулы бинома Ньютона

Формула бинома Ньютона позволяет возводить сумму двух слагаемых в любую степень.

Попробуем раскрыть скобки. Выберем из каждой скобки . Получим . Предположим, что из скобки выбрать , а из одной скобки выбрать , получим . Но получится такое произведение не один раз, как и в случае с формулами квадрата суммы и куба суммы. Ведь можно выбрать из 1-й скобки, из 2-й скобки и так далее. Количество вариантов выбрать. получим .

Предположим, что из скобок выберем число , а из оставшихся скобок выберем число . Получим .

Сколько способов из скобок выбрать число ? То есть из скобок выбрать скобок, из которых выбрать число . Это в точности сочетание: выбрать объектов из без учёта порядка, а это . Получаем

Подставляя все возможные k от 0 до n, получим формулу бинома Ньютона:

Перепишем формулу. Заметим, что в формуле есть и .

– это количество способов выбрать из объектов один. Таких способов . Поэтому в формуле можно заменить на , а можно заменить на так как количество способов выбрать из объектов один равно количеству способов выбрать из объектов . Ведь выбрать – то же самое, что не выбрать .

Получим:

Формула бинома Ньютона: =.

Пример использования формулы бинома Ньютона для суммы 4-й степени

Пример.

. В данном решение был изменен порядок следования: начали не с , а с . Разницы нет, так как или же:

Чтоб дописать формулу четвертой степени суммы, нужно знать значение (по треугольнику Паскаля (Источник).

=.

Пример использования формулы бинома Ньютона для квадрата суммы

Пример.

Найдем квадрат суммы по формуле бинома Ньютона: =.

Формула бинома Ньютона для разности

Пример. Получение формулы бинома Ньютона для разности

Подставим вместо в формулу бинома Ньютона :

Получим степень для суммы и Когда в соответствующем примере из формулы бинома Ньютона число в четной степени – знак «-» уйдет, когда в нечетной степени – останется.