11 класс. Алгебра. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности.

Комментарии преподавателя

 Основные термины и определения

Со­бы­тие – это то, что на­сту­па­ет или не на­сту­па­ет в ре­зуль­та­те экс­пе­ри­мен­та.

Пред­по­ло­жим, что мы про­ве­дём неко­то­рый экс­пе­ри­мент, на­при­мер мы бро­си­ли 2 ку­би­ка. В ре­зуль­та­те этого экс­пе­ри­мен­та может на­сту­пить неко­то­рое со­бы­тие: сумма очков ку­би­ков равна 7. А можем по­лу­чить и ре­зуль­тат, когда сумма не будет равна 7.

Со­бы­тие на­зы­ва­ет­ся до­сто­вер­ным, если оно обя­за­тель­но про­изой­дет в усло­ви­ях дан­но­го опыта.

На­при­мер, при бро­са­нии ку­би­ка мы по­лу­чим мень­ше 10 очков. Это со­бы­тие до­сто­вер­ное.

Со­бы­тие на­зы­ва­ет­ся невоз­мож­ным, если оно точно не про­изой­дет в усло­ви­ях дан­но­го опыта.

На­при­мер, при бро­са­нии двух ку­би­ков мы по­лу­чим в сумме боль­ше 20 очков. Это со­бы­тие невоз­мож­ное.

Со­бы­тие на­зы­ва­ет­ся воз­мож­ным, или слу­чай­ным, если в ре­зуль­та­те опыта оно может по­явить­ся, но может и не по­явить­ся.

На­при­мер, при бро­са­нии ку­би­ка вы­па­дет 5 очков. Это со­бы­тие может про­изой­ти, а может и не про­изой­ти, если вы­па­дет дру­гое число очков.

 Классическое определение вероятности наступления некоторого события

Пусть у нас есть экс­пе­ри­мент, а у него есть  несов­ме­сти­мых рав­но­ве­ро­ят­ных ис­хо­дов, из ко­то­рых  – число бла­го­при­ят­ных ис­хо­дов.

Для до­сто­вер­но­го со­бы­тия ве­ро­ят­ность на­ступ­ле­ния равна 1.

Для невоз­мож­но­го со­бы­тия ве­ро­ят­ность на­ступ­ле­ния равна 0.

При­мер 1

Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что из ко­ло­ды карт (36 карт в ко­ло­де) мы до­ста­нем даму?

Всего 36 карт, 

Ко­ли­че­ство дам в ко­ло­де – 4, 

При­мер 2

В клас­се из 30 че­ло­век 12 де­во­чек и 18 маль­чи­ков. Необ­хо­ди­мо вы­брать од­но­го де­жур­но­го. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность, что де­жур­ным будет де­воч­ка?

Общее число ис­хо­дов – 30, 

Бла­го­при­ят­ных ис­хо­дов – 12, 

 Независимые эксперименты

Экс­пе­ри­мен­ты на­зы­ва­ют неза­ви­сим­мы­ми, когда исход од­но­го экс­пе­ри­мен­та не за­ви­сит от ис­хо­да дру­го­го.

Пред­по­ло­жим, что у нас про­изо­шли 2 неза­ви­си­мых экс­пе­ри­мен­та. Рас­смот­рим, ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что про­изой­дут од­но­вре­мен­но 2 со­бы­тия.

Пред­по­ло­жим, что у пер­во­го экс­пе­ри­мен­та  ис­хо­дов и из них  бла­го­при­ят­ных, у вто­ро­го экс­пе­ри­мен­та  ис­хо­дов и из них  бла­го­при­ят­ных.

 – ве­ро­ят­ность пер­во­го со­бы­тия

 – ве­ро­ят­ность вто­ро­го со­бы­тия

Рас­смот­рим два экс­пе­ри­мен­та как один боль­шой экс­пе­ри­мент. По пра­ви­лу про­из­ве­де­ния по­лу­чим  всех ис­хо­дов и  бла­го­при­ят­ных ис­хо­дов.

Ве­ро­ят­ность того, что на­сту­пят сразу два со­бы­тия, равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей каж­до­го из них.

При­мер 3

Под­счи­тай­те ве­ро­ят­ность того, что при двух под­бро­сах мо­не­ты вы­па­дет два орла.

 Противоположное событие

Если ве­ро­ят­ность ис­ход­но­го со­бы­тия была , то ве­ро­ят­ность того, что со­бы­тие не на­сту­пит: .

При­мер 4

Ве­ро­ят­ность того, что уче­ник по­лу­чит двой­ку по ма­те­ма­ти­ке, равна 0,2. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что он по­лу­чит по­ло­жи­тель­ную от­мет­ку?

При­мер 5

Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что сумма двух брос­ков ку­би­ков будет не боль­ше 11?

Най­дём ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия (что сумма будет боль­ше 11). Чтобы сумма на двух ку­би­ках была боль­ше один­на­дца­ти, нам необ­хо­ди­мо, чтобы вы­па­ло 6+6 число очков, это воз­мож­но толь­ко в одном слу­чае.

Ответ: 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/elementy-matematicheskoy-statistiki-kombinatoriki-i-teorii-veroyatnosti/sluchaynye-sobytiya-i-ih-veroyatnosti

http://www.youtube.com/watch?v=-wDH3FdJGik

http://www.youtube.com/watch?v=9irhQUUCiP8

http://www.youtube.com/watch?v=EanK88hMW3U

http://www.mathprofi.ru/formuly_kombinatoriki.pdf

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

http://studopedia.su/10_95863_svoystva-veroyatnosti.html

Файлы