11 класс. Алгебра. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности.

Комментарии преподавателя

 Введение

Ха­рак­тер­ной осо­бен­но­стью боль­шин­ства раз­де­лов курса ма­те­ма­ти­ки яв­ля­ет­ся опре­де­лен­ность неиз­вест­ных, ко­то­рые нужно было найти при ре­ше­нии задач.

На­при­мер, если из­вест­на длина ребра куба, то его объем рас­счи­ты­ва­ет­ся опре­де­лен­ным спо­со­бом. Если же за­да­на за­ви­си­мость по­ло­же­ния тела от вре­ме­ни, то мгно­вен­ная ско­рость в мо­мент вре­ме­ни также опре­де­ля­ет­ся од­но­знач­но.

Од­на­ко при по­пыт­ке при­ме­нить по­доб­ные вы­чис­ле­ния к ре­аль­но су­ще­ству­ю­щим объ­ек­там, мы неиз­мен­но столк­нем­ся с тем фак­том, что их ре­зуль­та­ты ни­ко­гда не сов­па­дут с ре­зуль­та­та­ми из­ме­ре­ния тех же самых ве­ли­чин.

Все дело в том, что в ре­аль­но­сти ни­ко­гда не сра­ба­ты­ва­ют усло­вия, сто­я­щие после слова «если». На­при­мер, мы ни­ко­гда не знаем точ­ное зна­че­ние ребра куба. Да и само по­ня­тие «куб» су­гу­бо иде­а­ли­сти­че­ское, и ни­че­го по­доб­но­го в мире нет. Также не до­ступ­но для из­ме­ре­ния точ­ное зна­че­ние мгно­вен­ной ско­ро­сти тела и его ко­ор­ди­на­ты. (рис.1)

Рис. 1. Куб, из­ме­ре­ние длины его ребра. Тело в си­сте­ме ко­ор­ди­нат, из­ме­ре­ние его мгно­вен­ной ско­ро­сти

В тот же ряд можно от­не­сти номер вы­иг­рыш­но­го ло­те­рей­но­го би­ле­та или ко­ли­че­ство уче­ни­ков, ко­то­рые, окон­чив школу в этом году, по­сту­пят бли­жай­шим летом в ка­кой-то опре­де­лен­ный уни­вер­си­тет. Со­бы­тия та­ко­го ха­рак­те­ра на­зы­ва­ют слу­чай­ны­ми. Изу­че­ни­ем за­ко­но­мер­но­стей слу­чай­ных со­бы­тий за­ни­ма­ет­ся тео­рия ве­ро­ят­но­сти.

Ба­зо­вые по­ня­тия тео­рии ве­ро­ят­но­сти нам уже из­вест­ны, так как они были рас­смот­ре­ны на уроке ал­геб­ры в 9 клас­се (пе­ре­смот­реть ко­то­рые можно, клик­нув по ссыл­ке: (Ис­точ­ник).

 Практическое решение задач

Да­вай­те пе­рей­дем к прак­ти­че­ско­му ре­ше­нию задач. Для этого стоит вспом­нить такие по­ня­тия, как общее число эле­мен­тар­ных ис­хо­дов и число бла­го­при­ят­ных ис­хо­дов. Непо­сред­ствен­ный под­счет ве­ро­ят­но­стей зна­чи­тель­но упро­ща­ет­ся, если для пред­ва­ри­тель­но­го вы­чис­ле­ния числа бла­го­при­ят­ных ис­хо­дов и об­ще­го числа ис­хо­дов ис­поль­зо­вать фор­му­лы ком­би­на­то­ри­ки.  

При­мер 1

Класс со­сто­ит из 16 че­ло­век, среди ко­то­рых 4 де­воч­ки. Учи­тель на­у­гад вы­зы­ва­ет к доске троих уча­щих­ся. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что среди вы­зван­ных ока­жет­ся одна де­воч­ка?

Ре­ше­ние

Пусть А – это со­бы­тие, ве­ро­ят­ность ко­то­ро­го надо найти. Для опре­де­ле­ния числа всех эле­мен­тар­ных ис­хо­дов про­ну­ме­ру­ем всех уча­щих­ся от 1 до 16. Тогда эле­мен­тар­ным ис­хо­дом можно счи­тать:

 – мно­же­ство.

Дру­ги­ми сло­ва­ми, необ­хо­ди­мо под­счи­тать ко­ли­че­ство групп по 3 уче­ни­ка, ко­то­рые можно со­ста­вить из 16 че­ло­век (по­ря­док и рас­по­ло­же­ние нам не важны).

То есть, общее число ис­хо­дов равно:

Для на­хож­де­ния числа ис­хо­дов, бла­го­при­ят­ных со­бы­тию , счи­та­ем таким об­ра­зом:

- вы­брать 1 де­воч­ку можно из 4-х, ко­то­рые есть в клас­се: ;

- также стоит пом­нить, что надо вы­звать толь­ко одну де­воч­ку, то есть из 12 кан­ди­да­тов можно вы­брать:  спо­со­ба­ми;

- эти спо­со­бы надо пе­ре­мно­жить, и по­лу­чим ко­ли­че­ство бла­го­при­ят­ных ис­хо­дов:

В итоге имеем:

Ответ: 

 Определения

Да­вай­те вве­дем ряд до­пол­ни­тель­ных по­ня­тий. Спер­ва обоб­щим вве­ден­ное в 9 клас­се по­ня­тие «несов­мест­ные со­бы­тия» на слу­чай, когда их число боль­ше 2-х:

Опре­де­ле­ние:

Со­бы­тия  на­зы­ва­ют­ся по­пар­но несов­мест­ны­ми, если любые два из них несов­мест­ны.
При­мер

Вы­па­де­ние 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при од­но­крат­ном бро­са­нии иг­раль­ной кости.

Опре­де­ле­ние

Мно­же­ство со­бы­тий об­ра­зу­ют пол­ную груп­пу, если вслед­ствие каж­до­го ис­пы­та­ния хотя бы одно из этих со­бы­тий про­изой­дет.

При­мер

Те же 6 гра­ней ку­би­ка.

Вве­дем по­ня­тие суммы со­бы­тий.

Опре­де­ле­ние

Сум­мой со­бы­тий  и  на­зы­ва­ет­ся со­бы­тие , со­сто­я­щее в на­ступ­ле­нии при еди­нич­ном ис­пы­та­нии или со­бы­тия , или со­бы­тия , или обоих со­бы­тий вме­сте.

При­мер

Пусть со­бы­тие  – стре­лок попал в цель с пер­во­го вы­стре­ла.

Со­бы­тие  – стре­лок попал в цель со вто­ро­го вы­стре­ла.

Тогда со­бы­тие  – стре­лок попал в цель хотя бы один раз.

 Теорема сложения

Тео­ре­ма сло­же­ния

Ве­ро­ят­ность суммы 2-х несов­ме­сти­мых со­бы­тий равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

Тео­ре­ма вы­пол­ня­ет­ся для суммы лю­бо­го ко­неч­но­го числа по­пар­но несов­мест­ных со­бы­тий:

При­мер

В урне на­хо­дят­ся 4 чер­ных, 7 крас­ных, 9 зе­ле­ных и 11 синих шаров. От­ту­да вы­ну­ли 1 шар. Найти ве­ро­ят­ность по­яв­ле­ния цвет­но­го шара (не чер­но­го).

Ре­ше­ние

Пусть  – по­яв­ле­ние цвет­но­го шара (все, кроме чер­ных)

 – по­яв­ле­ние чер­но­го шара

 – по­яв­ле­ние крас­но­го шара

 – по­яв­ле­ние зе­ле­но­го шара

 – по­яв­ле­ние си­не­го шара

Тогда 

По тео­ре­ме сло­же­ния по­лу­чим:

Ответ: 

 Следствие из теоремы сложения

Сумма ве­ро­ят­но­стей несов­мест­ных со­бы­тий, об­ра­зу­ю­щих пол­ную груп­пу, равна 1.

При­мер 2

По­яв­ле­ние 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при одном бро­са­нии иг­раль­ной кости яв­ля­ет­ся со­во­куп­но­стью шести несов­мест­ных со­бы­тий, об­ра­зу­ю­щих пол­ную груп­пу.

При этом .

По­это­му 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/elementy-matematicheskoy-statistiki-kombinatoriki-i-teorii-veroyatnosti/prosteyshie-veroyatnostnye-zadachi-2

http://www.youtube.com/watch?v=TYo9fj5Nnfg

http://www.youtube.com/watch?v=cI98FfOSYaE

http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/prosteyshie-veroyatnostnie-zadachi.pptx

http://mathematichka.ru/ege/problems/problem_B10P1.html

Файлы