11 класс. Алгебра. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Случайные события и их вероятности.

Комментарии преподавателя

 Методы статистических исследований

При ста­ти­сти­че­ских ме­то­дах ис­поль­зу­ют­ся спе­ци­фи­че­ские ме­то­ды, такие как мас­со­вое на­блю­де­ние, груп­пи­ров­ка, вы­чис­ле­ние ха­рак­те­ри­стик и по­стро­е­ние гра­фи­ков.

 Практическая задача, сплошное и несплошное наблюдение

Рас­смот­рим ста­ти­сти­че­ское на­блю­де­ние на при­ме­ре прак­ти­че­ской за­да­чи.

За­да­ча.

Пред­ставь­те, что вы – мэр го­ро­да и вам необ­хо­ди­мо по­стро­ить в го­ро­де ки­но­те­атр, ста­ди­он и боль­шой тор­го­вый центр. По­стро­ить всё сразу нет воз­мож­но­сти, по­это­му необ­хо­ди­мо сна­ча­ла вы­брать один из пред­став­лен­ных объ­ек­тов. Какой объ­ект вы­брать пер­вым?

Ре­ше­ние.

Нам необ­хо­ди­мо учесть же­ла­ние как можно боль­ше­го ко­ли­че­ства го­ро­жан. Мы могли бы опро­сить всех го­ро­жан, но для боль­шо­го го­ро­да это будет слож­но. В таком слу­чае опра­ши­ва­ют часть го­ро­жан го­ро­да в на­деж­де на то, что их мне­ние с той или иной сте­пе­нью до­сто­вер­но­сти от­ра­жа­ет мне­ние го­ро­жан. Здесь мы имеем дело с де­ле­ни­ем на­блю­де­ний по сте­пе­ни пол­но­ты охва­та. В пер­вом слу­чае – это сплош­ное на­блю­де­ние, во вто­ром – несплош­ное.

 Выборка наблюдений

Наи­бо­лее рас­про­стра­нён­ное несплош­ное на­блю­де­ние – вы­бо­роч­ное на­блю­де­ние.

При вы­бо­роч­ном на­блю­де­нии всё на­се­ле­ние го­ро­да на­зы­ва­ет­ся ге­не­раль­ной со­во­куп­но­стью, а опра­ши­ва­е­мые люди – вы­бор­кой.

 Этапы статистического исследования

Этапы ста­ти­сти­че­ско­го ис­сле­до­ва­ния.

1. Дан­ные из­ме­ре­ний упо­ря­до­чи­ва­ют и груп­пи­ру­ют.

2. Со­став­ля­ют таб­ли­цы рас­пре­де­ле­ния дан­ных.

3. Таб­ли­цы рас­пре­де­ле­ния дан­ных поз­во­ля­ют по­стро­ить гра­фи­ки рас­пре­де­ле­ния дан­ных в виде мно­го­уголь­ни­ка, ги­сто­грам­мы или кру­го­вой диа­грам­мы.

По­лу­че­ния пас­пор­та дан­ных из­ме­ре­ний, ко­то­рый со­сто­ит из неболь­шо­го ко­ли­че­ства ос­нов­ных чис­ло­вых ха­рак­те­ри­стик по­лу­чен­ной ин­фор­ма­ции.

 Основные характеристики

Объём из­ме­ре­ния – ко­ли­че­ство ис­точ­ни­ков.

Раз­мах из­ме­ре­ния – раз­ни­ца между наи­боль­шим и наи­мень­шим зна­че­ни­я­ми ре­зуль­та­тов из­ме­ре­ния.

Мода из­ме­ре­ния – наи­бо­лее часто встре­ча­ю­щий­ся ре­зуль­тат.

Сред­нее зна­че­ние – част­ное от де­ле­ния суммы всех ре­зуль­та­тов из­ме­ре­ния на объём из­ме­ре­ния.

Ме­ди­а­на – зна­че­ние ва­ри­ан­ты, на­хо­дя­ще­е­ся в се­ре­дине упо­ря­до­чен­но­го ряда дан­ных из­ме­ре­ния. Если ко­ли­че­ство ва­ри­ан­тов чёт­ное, то ме­ди­а­на равна по­лу­сум­ме ва­ри­ант, сто­я­щих в се­ре­дине упо­ря­до­чен­но­го ряда дан­ных.

Сред­нее, мода и ме­ди­а­на от­но­сят­ся к од­но­му и тому же типу чис­ло­вых ха­рак­те­ри­стик дан­ных из­ме­ре­ний. Ино­гда их на­зы­ва­ют ме­ра­ми цен­траль­ных тен­ден­ций.

 Устный пример про поиск места работы

Рас­смот­рим при­мер. При по­ис­ке но­во­го места ра­бо­ты, как пра­ви­ло, есте­ствен­но по­ин­те­ре­со­вать­ся сред­ним уров­нем зар­пла­ты, од­на­ко может так слу­чить­ся, что ин­фор­ма­ция о вы­со­кой сред­ней зар­пла­те вве­дёт вас в за­блуж­де­ние. На­при­мер, пусть ме­ди­а­на или мода зна­чи­тель­но мень­ше, чем ве­ли­чи­на сред­ней зар­пла­ты (рис. 1).

Рис. 1. Гра­фик уров­ня зар­пла­ты на пред­при­я­тии

Это зна­чит, что на пред­при­я­тии есть малая часть со­труд­ни­ков, ко­то­рые по­лу­ча­ют очень вы­со­кую зар­пла­ту, и есть боль­шин­ство со­труд­ни­ков, ко­то­рые по­лу­ча­ют низ­кую зар­пла­ту. В таком слу­чае ло­гич­нее ин­те­ре­со­вать­ся про зар­пла­ту в том сек­то­ре долж­но­стей, на ко­то­рую пре­тен­ду­ет со­ис­ка­тель (рис. 2).

Рис. 2. Сек­то­ры долж­но­стей

Для даль­ней­ше­го ста­ти­сти­че­ско­го ана­ли­за важно знать не толь­ко цен­траль­ные зна­че­ния ре­зуль­та­тов из­ме­ре­ний, но и то, на­сколь­ко эти зна­че­ния кучно (тесно) рас­по­ло­же­ны во­круг неко­то­рых цен­траль­ных или сред­них зна­че­ний.

 Пример «Пристрелка ружей»

На ис­пы­та­тель­ном стен­де ору­жей­но­го за­во­да при­стре­ли­ва­ют го­то­вые ружья (уточ­ня­ют и кор­рек­ти­ру­ют их при­цел). В таб­ли­це при­ве­де­ны из­ме­ре­ния го­ри­зон­таль­ных от­кло­не­ний от цели при стрель­бе из трёх ружей (в сан­ти­мет­рах).

Для каж­до­го ружья есть де­сять вы­стре­лов, и в каж­дой ячей­ке при­ве­де­ны зна­че­ния от­кло­не­ния от цели. Если от­кло­не­ние слева от цен­тра цели, то оно за­пи­са­но со зна­ком «-».

Необ­хо­ди­мо вы­чис­лить сред­ние зна­че­ния ре­зуль­та­тов ис­пы­та­ний.

Ре­ше­ние.

1. Сред­нее для ружья А равно:

2. Сред­нее для ружья Б равно:

3. Сред­нее для ружья В равно:

Какое же из ружей более точ­ное? Если для оцен­ки точ­но­сти поль­зо­вать­ся толь­ко сред­ни­ми зна­че­ни­я­ми от­кло­не­ний, то наи­бо­лее точ­ным яв­ля­ет­ся ружьё Б, по­сколь­ку его сред­нее число от­кло­не­ний яв­ля­ет­ся наи­мень­шим. За ним сле­ду­ет ружьё В, а по­след­нее по точ­но­сти – ружьё А.

Ответ: 1,4; 0,3; 0,35.

Од­на­ко если вни­ма­тель­но про­ана­ли­зи­ро­вать таб­ли­цу, то мы уви­дим, что прак­ти­че­ски все по­па­да­ния из ружья А рас­по­ло­же­ны очень близ­ко возле его сред­не­го зна­че­ния 1,4. Ско­рее всего, имеет место некая си­сте­ма­ти­че­ская ошиб­ка, и если найти спо­соб её ис­пра­вить, то после ис­прав­ле­ния ружьё будет стре­лять более точно. С ру­жьём Б дело об­сто­ит хуже, его вы­стре­лы силь­но раз­бро­са­ны слева и спра­ва от нуля, в сред­нем ошиб­ка неболь­шая, 0,3 см, но для каж­до­го от­дель­но­го вы­стре­ла от­кло­не­ние может до­сти­гать вы­со­ких зна­че­ний, а знак от­кло­не­ния ме­ня­ет­ся слу­чай­ным об­ра­зом. Вывод: такое ружьё со­вер­шен­но нена­дёж­но. Про­ана­ли­зи­ру­ем ружьё В. Пер­вые 5 вы­стре­лов ружьё стре­ля­ло до­воль­но ста­биль­но, и все вы­стре­лы рас­по­ла­га­лись левее цели, сле­ду­ю­щие вы­стре­лы пра­вее, а де­ся­тый вы­стрел дал за­мет­ную ве­ли­чи­ну ошиб­ки. Можно сде­лать вывод, что от­кло­не­ния с ру­жьём В про­изо­шли в про­цес­се ис­пы­та­ния и для про­ве­де­ния более точ­но­го ис­пы­та­ния необ­хо­ди­мо вер­нуть пер­во­на­чаль­ные на­строй­ки ружья. После этого ре­зуль­та­ты, ско­рее всего, будут более точ­ны­ми.

Вве­дём ко­ли­че­ствен­ный па­ра­метр, ко­то­рый ха­рак­те­ри­зу­ет раз­брос дан­ных.

 Меры разброса данных

Меры раз­бро­са дан­ных – ха­рак­те­ри­сти­ки вы­бор­ки или ге­не­раль­ной со­во­куп­но­сти, пред­на­зна­чен­ные для опи­са­ния сте­пе­ни раз­бро­са дан­ных:

1. Дис­пер­сия.

2. Сред­нее квад­ра­ти­че­ское от­кло­не­ние.

Дис­пер­сия D– чис­ло­вая ха­рак­те­ри­сти­ка дан­ных из­ме­ре­ния, от­ве­ча­ю­щая за раз­брос, рас­се­и­ва­ние дан­ных во­круг их сред­не­го зна­че­ния.

Сред­нее квад­ра­ти­че­ское от­кло­не­ние σ – число, рав­ное квад­рат­но­му корню из дис­пер­сии.

Чем мень­шую ве­ли­чи­ну имеет дис­пер­сия или сред­нее квад­ра­ти­че­ское от­кло­не­ние, тем более тесно (более кучно) рас­по­ло­же­ны ре­зуль­та­ты из­ме­ре­ний во­круг сред­не­го от­кло­не­ния.

 Алгоритм вычисления дисперсии

Ал­го­ритм вы­чис­ле­ния дис­пер­сии:

Для на­хож­де­ния дис­пер­сии D дан­ных  из­ме­ре­ния сле­ду­ет вы­чис­лить:

1. Сред­нее зна­че­ние

2. От­кло­не­ния дан­ных от , т. е. 

3. Квад­ра­ты  от­кло­не­ний  , най­ден­ных на преды­ду­щем шаге;

4. Сред­нее зна­че­ние всех квад­ра­тов от­кло­не­ний – дис­пер­сия:

 – cред­нее квад­ра­ти­че­ское от­кло­не­ние.

 Домашнее задание

Под­счи­тай­те сумму от­кло­не­ний , вы­чис­ля­е­мых на вто­ром шаге, и сде­лай­те вывод от­но­си­тель­но ре­зуль­та­та.

 Практический пример

Под­счи­тай­те дис­пер­сию для ре­зуль­та­тов из­ме­ре­ний ружей А и Б из преды­ду­ще­го при­ме­ра.

Ре­ше­ние.

Про­ве­дём под­счё­ты для ис­пы­та­ния ружья А. Удоб­но со­брать все зна­че­ния в таб­ли­цу.

- стро­ка «ре­зуль­тат» со­дер­жит ре­зуль­тат из­ме­ре­ния;

- стро­ка «от­кло­не­ние» со­дер­жит под­счёт от­кло­не­ния от сред­не­го от­кло­не­ния, под­счи­тан­но­го в на­ча­ле при­ме­ра. Оно рав­ня­лось 1,4;

- стро­ка «квад­рат от­кло­не­ния» – необ­хо­ди­ма для под­счё­та дис­пер­сии.

Таким же об­ра­зом под­счи­та­ем зна­че­ние ружья Б. В этом слу­чае сред­нее зна­че­ние от­кло­не­ния равно 0,3.

После под­счё­та дис­пер­сии мы ме­ня­ем своё мне­ние о ка­че­стве ружей. 

Ко­неч­ная за­да­ча ста­ти­сти­че­ско­го ис­сле­до­ва­ния со­сто­ит в том, чтобы, ос­но­вы­ва­ясь на свой­ствах вы­бор­ки, сде­лать вы­во­ды о всей ге­не­раль­ной со­во­куп­но­сти. Такие вы­во­ды фор­му­ли­ру­ют­ся на ос­но­ве ме­то­дов тео­рии ве­ро­ят­но­сти. В любом слу­чае зна­че­ние лю­бо­го при­зна­ка для вы­бор­ки в общем слу­чае будет от­ли­чать­ся от та­ко­во­го для всей ге­не­раль­ной со­во­куп­но­сти.

Воз­вра­ща­ясь к при­ме­ру, опи­сан­но­му в на­ча­ле урока, можно утвер­ждать, что ре­зуль­та­ты опро­са любой части го­ро­жан мень­ше ста про­цен­тов будут, ско­рее всего, от­ли­чать­ся от ре­зуль­та­тов опро­са всех го­ро­жен. Мы упо­треб­ля­ем сло­во­со­че­та­ние «ско­рее всего», так как из тео­рии ве­ро­ят­но­сти мы знаем, что любое со­бы­тие, ко­то­рое не яв­ля­ет­ся до­сто­вер­ным, не обя­за­тель­но яв­ля­ет­ся невоз­мож­ным.

 Погрешность выборки

По­греш­ность вы­бор­ки (ре­пер­зен­та­тив­но­сти)– раз­ность между при­ве­дён­ны­ми по­ка­за­те­ля­ми вы­бор­ки и ге­не­раль­ной со­во­куп­но­сти.

Пол­но­стью из­ба­вить­ся от по­греш­но­сти нель­зя. Но можно с по­мо­щью ме­то­дов ис­сле­до­ва­ния сде­лать по­греш­но­сти до­ста­точ­но ма­лы­ми. Пре­де­лы по­греш­но­сти опре­де­ля­ют­ся ме­то­да­ми тео­рии ве­ро­ят­но­стей.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/elementy-matematicheskoy-statistiki-kombinatoriki-i-teorii-veroyatnosti/statisticheskaya-obrabotka-dannyh

http://www.youtube.com/watch?v=cuJqry3Nwh8

http://www.youtube.com/watch?v=84ysiW_51Go

http://www.youtube.com/watch?v=Pm-XnrxWJbM

http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/statisticheskaya-obrabotka-dannix.pptx

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

http://vseuchebniki.net/uploads/posts/2015-01/1422313744_algebra_10-11_mordkovich_p2_2009.jpg

http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3

Файлы