11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность уравнений.
11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность уравнений.
Комментарии преподавателя
1. Определение равносильности
Определение 1.
Два уравнения с одной переменной
называются равносильными, если множество их корней совпадает.
|
|
Например, если в первом единственный корень 
, во втором тоже единственный корень , то эти уравнения равносильны.
Это очень важное понятие. В процессе решения мы пытаемся заменить более сложные уравнения более простыми, но равносильными (эквивалентными).
2. Примеры
Пример:
1. 
ó 2) 
Ответ: 
Ответ:
Уравнения 1 и 2 называются равносильными.
Рассмотрим важный частный случай. Если первое уравнение не имеет корней и второе уравнение не имеет корней, то данные уравнения мы считаем равносильными. Множество их решений совпадает – это пустое множество.
3. Определение следствия
Определение 2:
Если каждый корень уравнения 
Является и корнем уравнения 
, то уравнение 2 называют следствием из уравнения 1. Обозначают это следующим образом:
Предположим, что первое уравнение имеет корни 
, второе уравнение имеет корни 
. Тогда из первого уравнения следует второе.
В чем важность этого определения?
При решении уравнения исходное уравнение заменяется более простым, важно не потерять множество корней исходного уравнения, а ненужные корни можно потом отбросить проверкой.
4. Утверждение
Утверждение:
Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.
При практическом решении уравнений важно следить за их эквивалентностью (равносильностью).
Равносильность гарантируют некоторые теоремы.
5. Теорема 1
Теорема 1:
Равносильность сохранится, если любой член уравнения перенести в другую часть с противоположным знаком.
6. Теорема 2
Теорема 2:
Имеем уравнение. Можно возвести обе части в нечетную степень, при этом гарантируется сохранение равносильности уравнений.
7. Теорема 3
Теорема 3:
8. Теорема 4
Теорема 4:
Где 
При решении уравнений часто приходится возводить в четную степень. Сохранится ли при этом эквивалентность?
9. Теорема 5
Теорема 5:
Если 
при 
из ОДЗ, то
10. Теорема 6
Теорема 6:
Мы рассмотрели теорию равносильности уравнений.
Часть вторая. 1. Типовая ошибка 1. Неверное освобождение от знаменателя. Пример 1
Расширение ОДЗ
К появлению лишних корней ведет расширение области допустимых значений. Но когда же эта область расширяется? Типовые ошибки:
Неверное освобождение от знаменателя.
Продемонстрируем на конкретном примере.
Пример 1.
Решить уравнение 
Неверное решение:
Умножить обе части на 
, получить равенство числителей и решить простейшее уравнение 
.
«Ответ»: 
Почему это решение не верно?
ПО существу мы обе части уравнения умножили на , а, когда , это выражение равно нулю. В этом решении это важное обстоятельство не учтено. Имеем неверный ответ и неверное решение. Приведем верное решение:
Верное решение:
Можно верное решение оформить по-разному. НО главное – учесть ОДЗ.
Рассмотрим исходное уравнение 
Оно равносильно следующей системе:
Ответ: Решений НЕТ.
Сделаем комментарий к неверному решению и к верному. Неверное решение можно было продолжить и проверить. Окажется, что полученное решение не подходит. В случае когда важна эквивалентность, принципиальной необходимости в проверке нет. Итак, мы получили неверное решение и привели верное решение. Еще раз отметим: освобождение от знаменателя ведет к расширению ОДЗ и является часто ошибкой. Именно первый пример нам показал, что мы получили решение 
то есть разделили на нуль. Верное решение – это учет ОДЗ.
2. Типовая ошибка 2. Возведения в четную степень. Пример 2
Рассмотрим операцию возведения в четную степень и связанные с этим опасности и типовые ошибки. Сделаем это на примере уравнения.
Пример 2.
Решить уравнение: 
Речь идет о том, можно ли возвести в квадрат и что при этом происходит.
Неверное решение:
«Ответ»:
Где здесь ошибка?
Мы расширили ОДЗ. Потому что в уравнении 
допускались не все 
а в уравнении 
допускаются все 
. Значит, возможно, мы получили посторонние корни. Ясно, что если бы мы проверили корни 
а это нужно сделать, 
не подошел бы.
Ошибка в нарушении важной теоремы, которая говорила, что в четную степень обе части уравнения можно возвести и сохранить эквивалентность, если они не отрицательны. А здесь мы это не учли. Например, корень не подойдет. Можно было бы подставить этот корень и увидеть, что корень квадратный не может быть равен 
. С учетом этого приведем верное решение.
Верное решение:
Используем известную верную схему:
Ответ: 
Важная особенность: входит в ОДЗ, но это посторонний корень. И это важная особенность при возведении в квадрат.
3. Типовая ошибка 3. Операция освобождения от логарифма. Пример 3
Обсудим еще один источник возникновения типовых ошибок – операцию освобождения от логарифмов.
Подчеркнем, что тут нет равносильности.
Решить уравнение:
Решение:
Исходное уравнение решено равносильными преобразованиями.
Ответ: 
Итак, мы рассмотрели примеры, когда область допустимых значений расширяется, рассмотрели типовые ошибки при этом.
Часть третья. 1. Напоминание
Напоминание:
(2)
Уравнения (1) и (2) – равносильны, то есть множество их корней совпадает.
(2)
Уравнение (2) является следствием уравнения (1). При проверке можно лишние корни отсечь.
Лишние корни возникают при расширении ОДЗ. Ситуация будет хуже, если произойдет сужение ОДЗ. Такие случаи мы и рассмотрим.
2. Сужение ОДЗ, Пример 1
Найдем ОДЗ для левой части:
(Рис. 1)
Рис. 1. ОДЗ для левой части
Рис. 2. ОДЗ для правой части
ОДЗ для правой части:
(Рис. 2)
Все корни из 3-й четверти потеряны. Следовательно, даже при применении известных формул, можно сузить ОДЗ.
3. Пример 2
Для того чтобы это не происходило, эту формулу нужно применять в следующем виде:
ОДЗ для левой части:
(Рис. 1)
ОДЗ для правой части:
(Рис. 3)
Рис. 3. ОДЗ для правой части
То есть ОДЗ расширилась. При расширении ОДЗ могут возникнуть лишние корни, которые можно устранить проверкой.
Рассмотрим следующий пример.
Найдем ОДЗ для правой части:
(Рис. 4)
Рис. 4. ОДЗ для правой части
ОДЗ для левой части:
(Рис. 5)
Рис. 5. ОДЗ для левой части
То есть ОДЗ сузилась, все корни, удовлетворяющие условию 
, могут быть потеряны.
Преобразуем данную формулу следующим образом:
Тогда ОДЗ левой и правой части будут совпадать: 
.
4. Конкретное уравнение
Рассмотрим конкретное уравнение:
ОДЗ: 
(Рис. 4)
Неверное решение:
ОДЗ:
Ответ: .
Мы потеряли корень 
из-за сужения ОДЗ.
Ответ: .
Продолжим изучение случаев, когда происходит сужение ОДЗ и, следовательно, потеря корней.
5. Пример 3
Найдем ОДЗ правой части:
(Рис. 6)
Рис. 6. ОДЗ правой части
ОДЗ левой части:
(Рис. 7)
Рис. 7. ОДЗ левой части
Чтобы не допустить потери корней, преобразуем формулу следующим образом:
ОДЗ правой части осталось неизменным (Рис. 6).
6. Пример 4
Найдем ОДЗ левой части:
(Рис. 8)
Рис. 8. ОДЗ левой части
Произошло расширение ОДЗ, то есть возможное приобретение дополнительных корней.
Еще один случай сужения ОДЗ – это деление на 
или на выражение, которое его содержит. Рассмотрим конкретный пример.
Неверное решение:
Пусть .
Ответ: .
Верное решение:
Ответ: 
.
Мы рассмотрели основные случаи сужения ОДЗ.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/ravnosilnost-uravneniy
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/ravnosilnost-uravneniy-prodolzhenie
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/ravnosilnost-uravneniy-primery
http://www.youtube.com/watch?v=rlg0JFYvuIM
http://www.youtube.com/watch?v=h7uRBy-jXLE
http://www.youtube.com/watch?v=vYcLYbabg_Y
http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/11-klass-ravnosilnost-uravneniy.pptx