11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность уравнений.
11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность уравнений.
Комментарии преподавателя
1. Уравнения вида h(f(x)) = h (g(x)). Пример 1,2
Рассмотрим уравнения
(1) 
(2) 
– сложная функция. Ее аргументом являются функции. В первом случае равны функции, во втором – аргументы. Если 
– решение уравнения (2), то будет ли это корнем уравнения (1)? Да, будет, если существует.
Рассмотрим конкретный пример.
Пример 1.
и 
Решим уравнение (2):
Проверим, будет ли решение уравнения (1) таким же:
Рассмотрим уравнение (2)
– монотонная функция, поэтому уравнения (1) и (2) равносильны.
И поэтому, решая уравнение (1), мы решаем уравнение (2).
Ответ:
Переобозначим: 
Тогда уравнение (1) примет вид:
(3)
Имеем равенство функций.
Уравнение (2) примет вид:
(4)
Имеем равенство аргументов.
Вспомним определение функции.
Определение.
(единственность)
То есть, каждому допустимому аргументу ставится в соответствие единственное значение.
Следовательно, из равенства аргументов следует равенство функций:
Пример 2.
а)
При любом допустимом основании 
.
б) 
Из равенства монотонных функций следует равенство аргументов:
Функция монотонна, а значит, каждое значение функция принимает при единственном значении:
Рис. 1. Значение функции
Можно сделать вывод:
Если функция монотонно убывает или возрастает, то равенство функций и равенство аргументов равносильны: 
Вернемся к начальным обозначениям и сформулируем утверждение.
2. Утверждение 1
Каждый корень 
уравнения (2) такой, что 
является корнем уравнения (1).
Возникает вопрос, всегда ли, решив уравнение (2), мы получим все решения уравнений (1).
3. Утверждение 2
Если 
монотонна, то 
. То есть, множество корней совпадает.
Если не монотонна, то . То есть, решив уравнение (2), получим часть решений уравнения (1).
4. Пример 3
Значит, из равенства функций следует равенство аргументов:
Эти уравнения равносильны.
Ответ:
5. Пример 4
Это уравнение вида (1), где 
Значит, уравнения равносильны:
Из равенства функций следует равенство аргументов, и наоборот. Мы получили полное множество решений, так как функция монотонна.
Ответ:
Рассмотрим примеры с не монотонными функциями.
6. Пример 5
не монотонна.
– одно из решений, так как решением такого уравнения является 
.
Ответ:
7. Пример 6
не монотонна
один из корней
Ответ:
Итак, мы рассмотрели решения уравнений вида 
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/obschie-metody-resheniya-uravneniy
http://www.youtube.com/watch?v=3jNN5D81rr0
http://www.youtube.com/watch?v=t1EM3BDEl10
http://www.youtube.com/watch?v=_RGY1XMJI6k
http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-urok-logarifmicheskie-uravneniya.pptx