Комментарии преподавателя

 Функция y=√x

В реальной жизни встречаются процессы, которые можно описать различными математическими моделями в виде функций y = f(x). Если задать конкретное значение независимой переменной x(аргумента), то можно вычислить соответствующее значение зависимой переменной y (ординаты). На этом занятии мы рассмотрим функцию y=√x.

Для построения графика этой функции y = √x дадим независимой переменной x несколько конкретных значений (неотрицательных, т.к. при x < 0 квадратный корень √x не имеет смысла) и вычислим соответствующие значения переменной y.

При х равном нулю значение y равно нулю: x = 0, y = √0 = 0.

При х равном единице значение y равно единице: x=1,y = √1 = 1.

А если х взять равным четырем, то значение переменной y будет равняться двум:

x = 4, y = √4 = 2. Найдем y еще для двух значений х: x = 6.25,y = √6.25 = 2.5;

x = 9, y = √9 = 3. Из этих значений переменных х и y составим таблицу:

x	0	1	4	6.25	9
y	0	1	2	2.5	3

И построим график нашей функции y = √x, отметив точки (0;0), (1;1), (4;2), (6.25;2.5), (9;3) на координатной плоскости:

На гра­фи­ке на­гляд­но виден смысл вы­чис­ле­ния квад­рат­но­го корня. На­при­мер, если рас­смот­реть ор­ди­на­ту 16, то ей будет со­от­вет­ство­вать абс­цис­са 4, т. к. . Ана­ло­гич­но, ор­ди­на­те 9 на гра­фи­ке со­от­вет­ству­ет точка с абс­цис­сой 3, по­сколь­ку , ор­ди­на­те 11 со­от­вет­ству­ет абс­цис­са , т. к.  (квад­рат­ный ко­рень из 11 не из­вле­ка­ет­ся в целых чис­лах).

Те­перь рассмотрим гра­фик функ­ции  (рис. 2).

Рис. 2.

На гра­фи­ке для на­гляд­но­сти изоб­ра­же­ны несколь­ко точек, ор­ди­на­ты ко­то­рых вы­чис­ля­ют­ся с по­мо­щью из­вле­че­ния квад­рат­но­го корня: , , .

 

§2. Свойства функции

Рассмотрим свойства этой функции:

1. Область её определения – луч от нуля до плюс бесконечности [0;+∞).
2. y = 0 при x = 0; и y > 0 при x > 0.
3. Функция возрастает на луче от нуля до плюс бесконечности [0;+∞).

Напомним, что функцию y=f(x) называют возрастающей на промежутке Х, если на этом промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции. А если на промежутке Х большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то функцию y=f(x) называют убывающей на промежутке Х.

     4.  Наименьшее значение функции равно нулю yнаим = 0 (достигается при x = 0), наибольшее значение функции yнаиб не существует.

      5. Функция является непрерывной (так как её график есть сплошная непрерывная линия).

Точно такими же свойствами обладает и функция y = x2 при неотрицательных значениях переменной х: x ≥ 0. Только график функции y = √x обращен выпуклостью вверх, а y=x2,где x ≥ 0 обращен выпуклостью вниз.

Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка. Аналогично, функция выпукла вверх, если соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

6.    Множество всех значений функции y называют областью значений функции. Для функцииy=√x областью значений является луч от нуля до плюс бесконечности [0;+∞).

Источник конспекта: http://znaika.ru/catalog/8-klass/algebra/Funktsiya-y=√x,-ee-svoystva-i-grafik.

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=jNajabpBlf8

Файлы