11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность неравенств, решение неравенств.
11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность неравенств, решение неравенств.
Комментарии преподавателя
1. Понятие системы и совокупности неравенств, простейшие примеры
Рассмотрим систему неравенств:
Мы знаем, как решить каждое из этих неравенств. Найти решение каждого неравенства – значит найти множество всех х, при которых неравенство обращается в верное числовое соотношение. Предположим, мы нашли такое множество для каждого из заданных уравнений системы:
Решить систему – означает найти все х, удовлетворяющие одновременно и первому, и второму неравенству, то есть принадлежащие и множеству А, и множеству В.
Пример 1 – решить систему неравенств:
Покажем решение системы графически:
Рис. 1. Иллюстрация к примеру
Очевиден ответ: 
Комментарий: только значения х, находящиеся на выбранном отрезке, удовлетворяют одновременно первому и второму неравенству.
Рассмотрим совокупность двух неравенств:
Предположим, мы нашли решения обоих неравенств:
Решить совокупность – означает найти все х, которые удовлетворяют хотя бы одному неравенству, то есть входят хотя бы в одно из множеств А или В.
Например:
Полученные интервалы проиллюстрированы на рисунке 10.1. Очевиден ответ: 
2. Строгое определение пересечения и объединения
Теперь можем дать строгие определения.
Рис. 2. Пересечение двух множеств
Определение:
Пересечением двух множеств А и В называют такое множество С, которое состоит из всех элементов, входящих одновременно и в множество А, и в множество В.
Рис. 3. Объединение двух множеств
Определение:
Объединением двух множеств А и В называют такое множество D, которое состоит из всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств А или В.
3. Примеры решения систем и совокупностей с числовыми множествами
Пример 1 – решить систему и совокупность:
а) 
Проиллюстрируем решение:
Рис. 4. Иллюстрация к примеру 1.а
б) 
Проиллюстрируем решение:
Рис. 5. Иллюстрация к примеру 1.б
в) 
Поскольку во втором множестве нет ни одного элемента, то общей части у множеств тоже нет.
4. Примеры решения систем и совокупностей неравенств
Пример 2 – решить систему неравенств и их совокупность:
Решаем первое неравенство методом интервалов:
ОДЗ: 
Корни: 
Покажем интервалы знакопостоянства и знаки функции на них:
Рис. 6. Решение первого неравенства
Таким образом, решение первого неравенства: 
Рассмотрим второе неравенство:
Задана квадратичная функция, корни ее 
, ветви параболы направлены вверх. Интересующие нас значения находятся в интервале за корнями. Проиллюстрируем:
Рис. 7. Решение второго неравенства
Таким образом, решение второго неравенства: 
В результате преобразований получена система:
Получили 
Получили: 
Проиллюстрируем:
Рис. 8. Решение примера 2
Итак, мы рассмотрели системы и совокупности неравенств, ввели строгие определения и решили несколько примеров.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/sistemy-i-sovokupnosti-neravenstv
http://www.youtube.com/watch?v=jxG032tbIX0
http://www.youtube.com/watch?v=q4OLI_wej1E
http://www.youtube.com/watch?v=Yit0kBa8t2k
http://mathematics-tests.com/11-klass-uroki-presentatsii/11-klass-ravnosilnost-neravenstv
http://www.cleverstudents.ru/systems/sovokupnosti.html