11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность неравенств, решение неравенств.
11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Равносильность неравенств, решение неравенств.
Комментарии преподавателя
1. Основные теоретические факты
Рассмотрим в общем виде уравнение и неравенство с двумя переменными.
– уравнение с двумя переменными;
– неравенство с двумя переменными, знак неравенства может быть любым;
Здесь х и у – переменные, р – выражение, от них зависящее
Пара чисел (
) называется частным решением такого уравнения или неравенства, если при подстановке этой пары в выражение получаем верное уравнение или неравенство соответственно.
Задача состоит в том, чтобы найти или изобразить на плоскости множество всех решений. Можно перефразировать данную задачу – найти геометрическое место точек (ГМТ), построить график уравнения или неравенства.
2. Уравнение и неравенство с прямой
Пример 1 – решить уравнение и неравенство:
Иначе говоря, задача подразумевает найти ГМТ.
Рассмотрим решение уравнения. В данном случае значение переменной х может быть любым, в связи с этим имеем:
Очевидно, что решением уравнения является множество точек, образующих прямую 
Рис. 1. График уравнения, пример 1
Решениями заданного уравнения являются, в частности, точки (-1;0), (0; 1), (х0, х0+1)
Решением заданного неравенства является полуплоскость, расположенная над прямой , включая саму прямую (см. рисунок 1). Действительно, если взять любую точку х0 на прямой, то имеем равенство 
. Если же взять точку в полуплоскости над прямой, имеем 
. Если мы возьмем точку в полуплоскости под прямой, то она не удовлетворит нашему неравенству: 
.
3. Уравнение и неравенство с окружностью
Теперь рассмотрим задачу с окружностью и кругом.
Пример 2 – решить уравнение и неравенство:
Мы знаем, что заданное уравнение – это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 1.
Рис. 2. Иллюстрация к примеру 2
В произвольной точке х0 уравнение имеет два решения: (х0; у0) и (х0; -у0).
Решением заданного неравенства является множество точек, расположенных внутри окружности, не учитывая саму окружность (см. рисунок 2).
4. Уравнение с модулями
Рассмотрим уравнение с модулями.
Пример 3 – решить уравнение:
В данном случае можно было бы раскрывать модули, но мы рассмотрим специфику уравнения. Несложно заметить, что график данного уравнения симметричен относительно обеих осей. Тогда если точка (х0; у0) является решением, то и точка (х0; -у0) – также решение, точки (-х0; у0) и (-х0; -у0) также являются решением.
Таким образом, достаточно найти решение там, где обе переменные неотрицательны, и взять симметрию относительно осей:
Рис. 3. Иллюстрация к примеру 3
Итак, как мы видим, решением уравнения является квадрат.
5. Метод областей в решении неравенств
Рассмотрим так называемый метод областей на конкретном примере.
Пример 4 – изобразить множество решений неравенства:
Согласно методу областей, первым делом рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль. Это функция от двух переменных:
Аналогично методу интервалов, временно отходим от неравенства и изучаем особенности и свойства составленной функции.
ОДЗ: 
, значит, ось х выкалывается.
Теперь укажем, что функция равна нулю, когда числитель дроби равен нулю, имеем:
Строим график функции.
Рис. 4. График функции , учитывая ОДЗ
Теперь рассмотрим области знакопостоянства функции, они образованы прямой 
и ломаной . внутри ломаной находится область D1. Между отрезком ломаной 
и прямой – область D2, ниже прямой – область D3, между отрезком ломаной 
и прямой – область D4
В каждой из выбранных областей функция сохраняет знак, значит достаточно в каждой области проверить произвольную пробную точку.
В области 
возьмем точку (0;1). Имеем:
Так, вся область положительна и удовлетворяет заданному неравенству.
В области 
возьмем точку (10;1). Имеем:
Так, вся область отрицательна и не удовлетворяет заданному неравенству.
В области 
возьмем точку (0;-5). Имеем:
Так, вся область положительна и удовлетворяет заданному неравенству.
В области 
возьмем точку (-3;1). Имеем:
Так, вся область отрицательна и не удовлетворяет заданному неравенству.
Изобразим множество решений неравенства, как требовалось в задаче:
Рис. 5. Решение примера 4
Итак, мы рассмотрели решение различных уравнений и неравенств с двумя переменными
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/uravneniya-i-neravenstva-s-dvumya-peremennymi
http://www.youtube.com/watch?v=rZjJTbx2Glw
http://www.youtube.com/watch?v=dt9BYXluKRQ
http://www.youtube.com/watch?v=Xoai0CBxrBE
http://www.youtube.com/watch?v=w6W9_eWPAcM
http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-urok-uravneniya-i-neravenstva-s-dvumya-peremwnnimi.pptx
http://v.5klass.net/zip/887a9ea1b78b9308bed1726524bd31d4.zip
http://vseuchebniki.net/uploads/posts/2015-01/1422313744_algebra_10-11_mordkovich_p2_2009.jpg
http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3