Идеальный газ в МКТ. Основное уравнение МКТ. Физика. 10 класс.
Идеальный газ в МКТ. Основное уравнение МКТ. Физика. 10 класс.
Комментарии преподавателя
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
Идеальный газ
Изучение любой области физики всегда начинается с введения некой модели, в рамках которой идет изучение в дальнейшем. Например, когда мы изучали кинематику, моделью тела была материальная точка, когда изучали планетарные движения, планеты принимались за сферы и т. д. Как вы уже догадались, модель никогда не будет соответствовать реально происходящим процессам, но часто она очень сильно приближается к этому соответствию.
Молекулярная физика, и в частности МКТ, не является исключением. Над проблемой описания модели работали многие учёные, начиная с восемнадцатого века: М. Ломоносов, Д. Джоуль, Р. Клаузиус (Рис. 1). Последний, собственно, и ввёл в 1857 году модель идеального газа.
 |
 |
 |
Рис. 1. Джеймс Джоуль, Михаил Ломоносов, Рудольф Клаузиус соответственно
Определение. Идеальный газ – модель газа, в рамках которого молекулы и атомы газа представлены в виде очень маленьких (исчезающих размеров) упругих шариков, которые не взаимодействуют друг с другом (без непосредственного контакта), а только сталкиваются (см. Рис. 2).
Следует отметить, что разреженный водород (под очень маленьким давлением) практически полностью удовлетворяет модели идеального газа.
Рис. 2.
Микро- и макропараметры газа
Теперь можно приступить к описанию параметров идеального газа. Они делятся на две группы:
Параметры идеального газа
То есть микропараметры описывают состояние отдельно взятой частицы (микротела), а макропараметры – состояние всей порции газа (макротела). Запишем теперь соотношение, связывающее одни параметры с другими, или же основное уравнение МКТ:
Здесь: 
- средняя скорость движения частиц;
Определение. 
– концентрация частиц газа – количество частиц, приходящихся на единицу объёма; 
; единица измерения – 
.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
Таким образом, основное уравнение МКТ вводит нам прямо пропорциональную зависимость макропараметра давления от микропараметров массы молекулы и средней скорости движения в квадрате. То есть чем тяжелее частицы и чем больше их скорости, тем сильнее они врезаются в стенки сосуда и тем большее оказывают давление.
Возможны и другие формы записи этого уравнения, если вспомнить некоторые формулы из более ранних разделов физики:
- средняя кинетическая энергия поступательного движения
Или же:
– плотность газа
Выведение основного уравнения МКТ
Вспомним основные сведения про модель идеального газа:
- молекулы движутся хаотически;
- механизм давления идеального газа – это соударение отдельных молекул со стенками сосуда.
Пусть идеальный газ находится в цилиндрическом сосуде (см. Рис. 1). Определим давление p этого газа на поршень.
Рис. 1. Идеальный газ (молекулы) в цилиндрическом сосуде
По определению давление – величина, равная отношению силы (F), действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности (S).
Вычислим силу (F), с которой молекулы действуют на поршень:
1. Определим силу удара одной молекулы о стенку сосуда.
Пусть молекула идеального газа массой 
движется в плоскости XOYсо скоростью 
и, ударившись о поршень, отскакивает от него со скоростью 
(см. Рис. 2). Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на молекулу со стороны поршня во время удара, равна:
,
где a – ускорение молекулы при ударе; 
– изменение скорости движения молекулы при ударе; 
– продолжительность удара.
Рис. 2. Столкновение молекулы с поршнем
Проекция скорости на ось OY не изменяется, поэтому всё изменение скорости равно изменению скорости вдоль оси X:
Так как:
То:
Согласно третьему закону Ньютона, сила
, с которой молекула действует на поршень, равна по модулю силе 
, с которой поршень действует на молекулу. Следовательно:
2. Рассчитаем число молекул N, ударившихся о поршень за интервал .
За интервал времени до поршня успеют долететь только те молекулы, которые движутся в направлении поршня и удалены от него на расстояние 
(см. Рис. 3). То есть фактически половина числа молекул, заключённых в цилиндре объёмом 
. Следовательно, число молекул, ударившихся о поршень за интервал , равно:
– общее число молекул, которое равно произведению концентрации на объём:
Рис. 3. Молекулы, ударившиеся о поршень за время
3. Определим общую силу ударов молекул о поршень.
Эта сила будет равна произведению силы удара одной молекулы на общее число ударов:
Мы живём в трёхмерном мире, то есть любая молекула имеет проекцию скорости 
. Так как все молекулы двигаются хаотично, то направления их движения равноправные, поэтому можно написать, что в среднем, для средней квадратичной скорости, одинаковые (
). Следовательно, заменяем квадрат проекции скорости на средний квадрат проекции скорости:
Подставляем это значение в формулу силы ударов молекул о поршень:
Значение данной силы подставим в формулу давления:
– основное уравнение МКТ идеального газа,
где макропараметры 
;
микропараметры 
.
Второй способ записи основного уравнения МКТ
Основное уравнение МКТ можно записать в другом виде, в котором давление связывается не с массой и скоростью молекулы, а с их комбинацией, то есть со средней кинетической энергией одной молекулы.
Среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул газа можно рассчитать по формуле:
Следовательно, основное уравнение МКТ будет выглядеть так:
– давление идеального газа равно двум третям средней кинетической энергии поступательного движения молекул, содержащихся в единице объема
К занятию прикреплен файл «Это интересно!». Вы можете скачать файл в любое удобное для вас время.
Использованные источники:
- http://interneturok.ru/ru/school/physics/10-klass/
- http://www.youtube.com/watch?v=PXyIVNgxfvM
- http://www.youtube.com/watch?v=S-gPuzj-tyw
- http://www.youtube.com/watch?v=QnU097BS6KU
- http://www.youtube.com/watch?v=xbfSY4M6ce0