11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром.
11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром.
Комментарии преподавателя
Уравнения и неравенства с параметром, простейшие примеры
1. Суть решения задач с параметром, простейшие примеры
Напомним смысл выражения «решить с параметром» – можно решать уравнения, неравенства, системы с параметром.
Решить задачу, например уравнение 
или неравенство 
с параметром а – означает «перебрать» все значения параметра и для каждого из них указать ответ.
2. Решение уравнений с параметром
Поясним на простейших примерах.
Пример 1 – решить уравнение с параметром:
Задача состоит в том, чтобы для каждого значения параметра 
решить уравнение относительно 
.
Пусть 
, тогда имеем простейшее линейное уравнение:
В общем случае в данном уравнении возможны два варианта решения – когда можно делить на коэффициент а и когда нельзя, необходимо перебрать все допустимые значения параметра а (
)
Рассмотрим два случая. При 
мы не имеем права разделить единицу на коэффициент а, поэтому подставляем значение ноль в заданное уравнение и изучаем его. При любых других значениях а имеем право выполнить деление:
Ответ: при решений нет, при 
Рассмотрим решение простейшего неравенства с параметром.
3. Решение неравенства с параметром
Рассмотрим решение простейшего неравенства с параметром.
Пример 2 – решить неравенство с параметром:
Если а – конкретное число, мы можем легко решить заданное неравенство, например:
у нас же есть коэффициент а в общем виде. Рассмотрим три случая:
Ответ: при решений нет; при 
; при 
Пример 3 – решить уравнение с параметром:
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель ее равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
Значение параметра может быть любым. Рассмотрим два случая:
При этом получаем в первом случае: х с одной стороны равен пяти, т. к. 
, а с другой стороны не равен пяти, т. к. знаменатель дроби не может быть равен нулю, кроме того получаем выражение 
, а такого выражения не существует.
Когда 
, противоречий не возникает
Ответ: при 
решений нет, при
Пример 4 – решить уравнение с параметром:
Значение а может быть любым, но квадратный корень – это строго неотрицательное число. Следовательно, рассматриваем два случая:
Ответ: при 
; при 
4. Решение иррационального уравнения с параметром
Решим иррациональное неравенство с параметром.
Пример 5 – решить неравенство с параметром:
Исследуем данное неравенство.
х стоит под знаком квадратного корня, значит допустимые значения по х - все неотрицательные значения. а может принимать любые значения. рассмотрим три случая. Если меньше нуля и корень существует, то неравенство выполняется. Если , любой неотрицательный х удовлетворяет неравенству. Если же больше нуля, имеем право возвести в квадрат:
Ответ: при 
; при 
Рассмотрим решение данного неравенства графическим методом. Для этого сначала строим график функции, стоящей в левой части: 
, область определения данной функции . Рассекаем полученную кривую семейством прямых 
и находим точки пересечения.
По рисунку очевидно, что когда , кривая находится над прямой при всех допустимых х, то есть при всех допустимых х неравенство выполняется.
Если а положительно, кривая имеет единственную точку пересечения с прямой и кривая находится выше прямой правее точки пересечения, абсцисса точки пересечения , поэтому решением неравенства является
Очевидно, что ответ совпадает с ответом при решении аналитическим способом.
Пример 6 – решить уравнение с параметром:
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом существует.
Рассматриваем два варианта – либо , но корень при этом должен существовать, либо 
, в таком случае а – любое число:
Ответ: при 
; при 
Итак, мы рассмотрели решение различных простых задач, в которых присутствует параметр.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/uravneniya-i-neravenstva-s-parametrom-prosteyshie-primery
http://www.youtube.com/watch?v=WT1oP8NCWfs
http://www.youtube.com/watch?v=TJtZXiD3zrk
http://www.youtube.com/watch?v=aZGFshftUeA
http://yourtutor.info/решение-задач-с-параметрами-из-егэ
http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-042*page.htm
http://www.docme.ru/download/check
http://nsportal.ru/sites/default/files/2013/12/01/parametry.pptx