11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром.
11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром.
Комментарии преподавателя
Линейная функция в задачах с параметром
1. Суть решения задач с параметром
Напомним смысл выражения «решить с параметром» – можно решать уравнения, неравенства, системы с параметром.
Решить задачу, например, уравнение или неравенство с параметром а – означает «перебрать» все значения параметра и для каждого из них указать ответ.
2. Решение линейного уравнения с параметром
Поясним на конкретных примерах.
Пример 1 – решить линейное уравнение с параметром:
Если бы мы знали конкретное значение параметра, мы могли бы легко решить уравнение, разделив свободный член на коэффициент при х. Поэтому, чтобы решить заданное уравнение с параметром, необходимо сначала собрать все члены с х в одной части уравнения, а все остальные члены – в другой:
Вынесем в левой части общий множитель за скобки:
Разложим на множители по формуле разности квадратов:
теперь можно было бы разделить правую часть на коэффициент при х, деление можно выполнить, когда коэффициент не равен нулю, но он зависит от параметра а. В данном случае коэффициент равен нулю при . То есть нужно рассмотреть три случая, таким образом перебрать все значения параметра:
Ответ: при ; при ; при
Решенный пример подтверждает известную специфику линейного уравнения или системы линейных уравнений. Она заключается в том, что такое уравнение или система может иметь единственное решение, бесчисленное множество решений или вовсе не иметь решений.
3. Решение линейного неравенства с параметром
Рассмотрим линейные неравенства с параметром.
Пример 2 – решить линейное неравенство с параметром:
Аналогично решению уравнения, переносим члены с х в одну сторону и преобразовываем:
Теперь мы можем делить на коэффициент перед х, рассмотрим три случая – коэффициент положителен, равен нулю и отрицателен:
Ответ: при ;
при ;
при
4. Решение системы линейных уравнений с параметром
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с параметром.
Пример 3 – решить систему уравнений с параметром:
Выразим во втором уравнении х и подставим в первое уравнение:
Получили одно линейное уравнение с одной неизвестной, упрощаем его:
Таким образом, в результате преобразований получена система:
Теперь необходимо решить первое уравнение системы. При этом нужно рассмотреть случаи, когда коэффициент перед у равен нулю и не равен нулю:
Ответ: при ; при система не имеет решений; при
Рассмотрим подробнее случай, когда заданная система не имеет решений, то есть когда , подставим значение а в уравнения системы:
Поделим первое уравнение на два:
Получено явное противоречие, очевидно, что система не имеет решений.
Выразим в обоих уравнениях у:
Проиллюстрируем:
Рис. 1. Графики функций и
Прямые параллельны, и система не имеет решений.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/lineynaya-funktsiya-v-zadachah-s-parametrom
http://www.youtube.com/watch?v=5sX6rOnAmS8
http://www.youtube.com/watch?v=1BD7DPzsS4I
http://yourtutor.info/решение-задач-с-параметрами-из-егэ
http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-042*page.htm