11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром.
11 класс. Алгебра. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. Уравнения и неравенства с параметром.
Комментарии преподавателя
Графический метод в задачах с параметром
1. Суть решения задач с параметром, графический метод
Ранее мы решали уравнения и неравенства с двумя переменными вида 
, говорили, что существуют частные решения и общие решения уравнения или неравенства. Решить уравнение или неравенство с двумя переменными означает найти множество всех его решений. Причем каждое частное решение – это пара чисел, а геометрически это точка и мы изображали на графике множество решений в виде некой фигуры. Мы говорили, что одну из переменных обозначим параметром, вот и обозначили: 
. Так, имеем уравнение и неравенство с параметром а. для решения таких задач необходимо следовать алгоритму:
1. Построить график уравнения или неравенства;
2. Рассечь его прямыми 
;
3. Найти точки пересечения;
4. Выписать ответ;
2. Графическое решение уравнения с параметром
Поясним методику на конкретных примерах.
Пример 1 – решить уравнение с параметром:
Согласно методике на первом шаге мы должны построить график заданного уравнения 
, в данном случае это квадрат ABCD:
Рис. 1. График функции
Чтобы легко построить данный график, нужно заметить, что есть симметрия и по х, и по а, то есть можем подставить вместо х 
или вместо а 
и ничего не изменится. Если найдено решение (х; а), то точки (-х; а), (-х; -а), (х; -а) также будут решением.
Исходя из вышесказанного, методика построения графика такова: предполагаем, что х и а положительные числа, тогда модули можно отбросить и имеем:
Строим отрезок АВ в первой четверти (
) и симметрично отображаем его относительно обеих осей. Таким образом, зная решение в одной четверти, мы можем получить решение в остальных четвертях.
Теперь необходимо записать уравнение полученного отрезка для каждой четверти.
Первая четверть: отрезок АВ,
Вторая четверть: отрезок ВС, 
. Чтобы получить данное уравнение необходимо взять симметрию для уравнения первой четверти относительно оси у, при этом вместо х подставляем 
.
Третья четверть: отрезок CD, 
Четвертая четверть: отрезок AD, 
Далее согласно методике необходимо рассечь полученное геометрическое место точек семейством прямых и найти точки пересечения.
Рис. 2. Рассечение графика функции семейством прямых
Некоторая прямая пересечет график в двух точках, например прямая 
рассекает ВС и АВ. Прямая 
рассекает CD и AD. Другая прямая вообще не пересечется с графиком, например прямая 
. Рассмотрим, каким образом мы можем выразить 
координаты точек пересечения прямых с графиком через параметр а.
Отрезок CD рассечен прямой 
, в результате получена точка пересечения 
, данное значение мы выразили из уравнения отрезка CD. Аналогично отрезок АD рассечен прямой , в результате получена точка пересечения 
.
Отрезок ВС рассечен прямой 
, в результате получена точка пересечения 
.
Отрезок АВ рассечен прямой , в результате получена точка пересечения 
.
Теперь глядя на график, можем выписать ответ: при 
уравнение не имеет решений; при 
уравнение имеет единственное решение - 
; при 
уравнение имеет два решения - 
; при 
уравнение имеет два решения 
; при 
уравнение имеет два решения - 
.
Постановка задачи при решении уравнения с параметром может быть различной, например, найти значения параметра, при которых уравнение не имеет решений, но для того, чтобы решать разнообразные более узкие задачи, необходимо решить полную задачу – перебрать все значения параметра и при каждом найти решение уравнения.
3. Графическое решение неравенств с параметром
Пример 2 – решить графическим методом неравенство с параметром:
Согласно методике сначала нужно построить график заданного неравенства в осях х, а. в предыдущем примере мы строили график уравнения, стоящего в левой части. Для построения графика данного неравенства необходимо лишь заштриховать все значения внутри квадрата, так как это и есть решение неравенства.
Рис. 3. График неравенства
Далее необходимо рассечь график семейством прямых и найти точки пересечения. Рассечение выполнено на рисунке 21.3, точки пересечения найдены в примере 1 при решении уравнения:
, , , .
Глядя на график, можем выписать ответ: при неравенство не имеет решений; при неравенство имеет единственное решение - ; при неравенство имеет множество решений - 
; при неравенство имеет множество решений 
; при неравенство имеет множество решений - 
.
Пример 3 – решить графически неравенство с параметром:
Данное неравенство мы уже решали ранее, применяя метод областей. Согласно данному методу:
Рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль, это функция от двух переменных:
Аналогично методу интервалов временно отходим от неравенства и изучаем особенности и свойства составленной функции.
ОДЗ: 
, значит ось х выкалывается.
Теперь укажем, что функция равна нулю, когда числитель дроби равен нулю, имеем:
Строим график функции.
Рис. 4. График функции , учитывая ОДЗ
Теперь рассмотрим области знакопостоянства функции, они образованы прямой и ломаной . внутри ломаной находится область D1. Между отрезком ломаной 
и прямой – область D2, ниже прямой – область D3, между отрезком ломаной 
и прямой – область D4
В каждой из выбранных областей функция сохраняет знак, значит достаточно в каждой области проверить произвольную пробную точку, таким образом получили, что в областях 
и 
функция положительна, в областях 
и 
– отрицательна. Имеем решение неравенства:
Рис. 5. Решение неравенства к примеру 3
Далее согласно методике необходимо рассечь полученное геометрическое место точек семейством прямых и найти точки пересечения.
Рис. 6. Рассечение графика семейством прямых
Теперь глядя на график можем выписать ответ: при 
имеем бесчисленное множество решений 
; при решений нет; при 
имеем множество решений 
.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/uravneniya-i-neravenstva-sistemy-uravneniy-i-neravenstv/graficheskiy-metod-v-zadachah-s-parametrom
http://www.youtube.com/watch?v=SOqp0rIIQeI
http://www.youtube.com/watch?v=Iwe-quvMRn4
http://yourtutor.info/решение-задач-с-параметрами-из-егэ
http://download.myshared.ru/irrpzFZaUookU8zMuZw21Q/1454263267/1199991.ppt
http://vseuchebniki.net/uploads/posts/2015-01/1422313744_algebra_10-11_mordkovich_p2_2009.jpg
http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3