8 класс. Алгебра. Свойства квадратных корней.

8 класс. Алгебра. Свойства квадратных корней.

Комментарии преподавателя

На данном уроке мы познакомимся со свойствами квадратных корней. Эти свойства позволяют решать многие примеры, связанные с квадратными корнями. На этом уроке мы не только сформулируем свойства квадратных корней, но и докажем их, а также решим несколько примеров.

 

 

Тема: Функ­ция . Свой­ства квад­рат­но­го корня

Урок: Свой­ства квад­рат­ных кор­ней

 1. Повторение определения и графика функции y = √x

На этом уроке мы по­вто­рим тео­рию, изу­чен­ную ранее, а также сфор­му­ли­ру­ем и до­ка­жем свой­ства квад­рат­ных кор­ней и решим несколь­ко при­ме­ров.

На­пом­ним опре­де­ле­ние квад­рат­но­го корня:

квад­рат­ным кор­нем из неот­ри­ца­тель­но­го числа на­зы­ва­ет­ся такое неот­ри­ца­тель­ное число , квад­рат ко­то­ро­го равен .

К при­ме­ру: , т. к. , т. к. , т. к. .

Вспом­ним, как вы­гля­дит гра­фик функ­ции . Он тесно свя­зан с гра­фи­ком функ­ции .

Рис. 1.

Гра­фик функ­ци­ей :

Рис. 2.

Итак, мы вспом­ни­ли, что такое ко­рень квад­рат­ный из неот­ри­ца­тель­но­го числа (ариф­ме­ти­че­ский ко­рень) и как вы­гля­дит его гра­фик.

 2. Свойство корня из произведения с примерами

Квад­рат­ный ко­рень (ариф­ме­ти­че­ский ко­рень) об­ла­да­ет целым рядом свойств:

1.  (). Если  и  – неот­ри­ца­тель­ные числа, то ко­рень из их про­из­ве­де­ния равен про­из­ве­де­нию кор­ней.

До­ка­за­тель­ство:

Вос­поль­зу­ем­ся опре­де­ле­ни­ем квад­рат­но­го корня:, а с дру­гой сто­ро­ны: . По­лу­ча­ем, что: . Но мы знаем, что функ­ция  при­ни­ма­ет свои зна­че­ния ровно один раз. Зна­чит, из ра­вен­ства квад­ра­тов, по­лу­ча­ем: . До­ка­за­но.

При­ме­ры:

1. .

2. .

Рас­смот­рим обоб­ще­ние пер­во­го свой­ства:

.

При­ме­ры:

1. .

2. .

3.  (). Если  – неот­ри­ца­тель­ное число, а  – по­ло­жи­тель­ное число, то ко­рень из их от­но­ше­ния равен от­но­ше­нию кор­ней.

 3. Свойство корня из частного с примерами

До­ка­за­тель­ство:

Вос­поль­зу­ем­ся опре­де­ле­ни­ем квад­рат­но­го корня:, а с дру­гой сто­ро­ны: . По­лу­ча­ем, что: . Но мы знаем, что функ­ция  при­ни­ма­ет свои зна­че­ния ровно один раз. Зна­чит, из ра­вен­ства квад­ра­тов, по­лу­ча­ем: . До­ка­за­но.

При­ме­ры:

1. .

2. .

3.  ().

 4. Свойство корня из чётной степени с примерами

До­ка­за­тель­ство:

Вос­поль­зу­ем­ся опре­де­ле­ни­ем квад­рат­но­го корня:, а с дру­гой сто­ро­ны: . По­лу­ча­ем, что: . Но мы знаем, что функ­ция  при­ни­ма­ет свои зна­че­ния ровно один раз. Зна­чит, из ра­вен­ства квад­ра­тов, по­лу­ча­ем: . До­ка­за­но.

При­ме­ры:

1. .

2. .

 5. Примеры решения различных задач на свойства квадратного корня

Рас­смот­рен­ные свой­ства ши­ро­ко ис­поль­зу­ют­ся в раз­лич­ных за­да­чах.

Решим несколь­ко при­ме­ров.

1. .

Ко­неч­но, в дан­ном при­ме­ре можно было про­сто вы­чис­лить квад­ра­ты ука­зан­ных чисел, а затем по­счи­тать их раз­ность. Од­на­ко пред­ло­жен­ный нами спо­соб ре­ше­ния уни­вер­саль­ный. А под­счёт «в лоб» ста­нет невоз­мож­ным для боль­ших чисел.

Пре­жде, чем ре­шать сле­ду­ю­щий при­мер, рас­смот­рим одну из самых рас­про­стра­нён­ных и гру­бей­ших оши­бок, ко­то­рую часто до­пус­ка­ют при ра­бо­те с квад­рат­ны­ми кор­ня­ми.

Утвер­жде­ние:  – НЕВЕР­НО!!!

В ка­че­стве под­твер­жде­ния рас­смот­рим сле­ду­ю­щий при­мер:

, а не: . Как видим, при­ме­не­ние непра­виль­ной фор­му­лы при­во­дит к непра­виль­ным ре­зуль­та­там.

2.  .

3. .

4. 

Или: .

Итак, мы рас­смот­ре­ли свой­ства квад­рат­но­го корня из неот­ри­ца­тель­но­го числа, до­ка­за­ли эти свой­ства, а также на­учи­лись при­ме­нять их для ре­ше­ния раз­лич­ных при­ме­ров.

На сле­ду­ю­щем уроке мы на­учим­ся ре­шать раз­лич­ные более слож­ные за­да­чи с по­мо­щью этих свойств.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/funktsiya-y-x-svoystva-kvadratnogo-kornya/svoystva-kvadratnyh-korney?konspekt&chapter_id=920

 

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=mkuI3c0OTbs

Файлы