8 класс. Алгебра. Свойства квадратных корней.
8 класс. Алгебра. Свойства квадратных корней.
Комментарии преподавателя
На данном уроке мы познакомимся со свойствами квадратных корней. Эти свойства позволяют решать многие примеры, связанные с квадратными корнями. На этом уроке мы не только сформулируем свойства квадратных корней, но и докажем их, а также решим несколько примеров.
Тема: Функция 
. Свойства квадратного корня
Урок: Свойства квадратных корней
1. Повторение определения и графика функции y = √x
На этом уроке мы повторим теорию, изученную ранее, а также сформулируем и докажем свойства квадратных корней и решим несколько примеров.
Напомним определение квадратного корня:
квадратным корнем из неотрицательного числа
называется такое неотрицательное число 
, квадрат которого равен : 
.
К примеру: 
, т. к. 
; 
, т. к. 
; 
, т. к. 
.
Вспомним, как выглядит график функции 
. Он тесно связан с графиком функции 
.
Рис. 1.
График функцией :
Рис. 2.
Итак, мы вспомнили, что такое корень квадратный из неотрицательного числа (арифметический корень) и как выглядит его график.
2. Свойство корня из произведения с примерами
Квадратный корень (арифметический корень) обладает целым рядом свойств:
1. 
(
). Если и – неотрицательные числа, то корень из их произведения равен произведению корней.
Доказательство:
Воспользуемся определением квадратного корня:
, а с другой стороны: 
. Получаем, что: 
. Но мы знаем, что функция принимает свои значения ровно один раз. Значит, из равенства квадратов, получаем: . Доказано.
Примеры:
1. 
.
2. 
.
Рассмотрим обобщение первого свойства:
.
Примеры:
1. 
.
2. 
.
3. 
(
). Если – неотрицательное число, а – положительное число, то корень из их отношения равен отношению корней.
3. Свойство корня из частного с примерами
Доказательство:
Воспользуемся определением квадратного корня:
, а с другой стороны: 
. Получаем, что: 
. Но мы знаем, что функция принимает свои значения ровно один раз. Значит, из равенства квадратов, получаем: . Доказано.
Примеры:
1. 
.
2. 
.
3. 
(
).
4. Свойство корня из чётной степени с примерами
Доказательство:
Воспользуемся определением квадратного корня:
, а с другой стороны: 
. Получаем, что: 
. Но мы знаем, что функция принимает свои значения ровно один раз. Значит, из равенства квадратов, получаем: . Доказано.
Примеры:
1. 
.
2. 
.
5. Примеры решения различных задач на свойства квадратного корня
Рассмотренные свойства широко используются в различных задачах.
Решим несколько примеров.
1. 
.
Конечно, в данном примере можно было просто вычислить квадраты указанных чисел, а затем посчитать их разность. Однако предложенный нами способ решения универсальный. А подсчёт «в лоб» станет невозможным для больших чисел.
Прежде, чем решать следующий пример, рассмотрим одну из самых распространённых и грубейших ошибок, которую часто допускают при работе с квадратными корнями.
Утверждение: 
– НЕВЕРНО!!!
В качестве подтверждения рассмотрим следующий пример:
, а не: 
. Как видим, применение неправильной формулы приводит к неправильным результатам.
2. 
.
3. 
.
4. 
Или: 
.
Итак, мы рассмотрели свойства квадратного корня из неотрицательного числа, доказали эти свойства, а также научились применять их для решения различных примеров.
На следующем уроке мы научимся решать различные более сложные задачи с помощью этих свойств.
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/funktsiya-y-x-svoystva-kvadratnogo-kornya/svoystva-kvadratnyh-korney?konspekt&chapter_id=920
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=mkuI3c0OTbs