8 класс. Алгебра. Свойства квадратных корней.
8 класс. Алгебра. Свойства квадратных корней.
Комментарии преподавателя
Тема: Функция . Свойства квадратного корня
Урок: Преобразование выражений с корнями
1. Повторение определения и свойств квадратного корня
Напомним определение квадратного корня:
квадратным корнем из неотрицательного числа называется такое число неотрицательное число , квадрат которого равен : .
Из определения квадратного корня сразу следует следующее тождество:
.
Рассмотрим несколько примеров на вычисление корней: , т. к. ; , т. к. ; , т. к. ; .
Напомним также основные свойства квадратного корня:
1. (). Если и – неотрицательные числа, то корень из их произведения равен произведению корней.
2. (). Если – неотрицательное число, а – положительное число, то корень из их отношения равен отношению корней.
3. ().
Примеры:
1. .
2. .
Докажем теперь ещё одно не менее важное свойство квадратного корня:
, т. е.: .
Доказательство:
Напомним вначале определение модуля: . Примеры: , , .
Рассмотрим два случая:
1. , т. к. – можно пользоваться определением корня квадратного из неотрицательного числа.
2. . В этом случае: . Тогда для числа можем воспользоваться результатами первого случая: .
Утверждение доказано
Естественным обобщением данного свойства является формула:
.
Рассмотрим типовые задачи на применение указанного свойства.
Примеры:
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
Необходимо понимать, что во всех рассмотренных примерах значение корней всегда получается неотрицательным (несмотря на наличие перед некоторыми ответами знака . К примеру, в примере 4 ответ положительный, так как знак выражения , а перед самим выражением стоит ещё один . Как известно, минус на минус даёт плюс.
Решим ещё несколько примеров, в которых фигурируют уже несколько переменных:
5.
( – по условию, – всегда, так как квадрат всегда неотрицательный).
6.
( – по условию, – всегда, так как квадрат всегда неотрицательный).
7.
( – по условию, – так как ).
8.
( – по условию, – так как ).
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/funktsiya-y-x-svoystva-kvadratnogo-kornya/preobrazovanie-vyrazheniy-s-kornyami-vynesenie-mnozhitelya-iz-pod-znaka-kornya?konspekt&chapter_id=920
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/funktsiya-y-x-svoystva-kvadratnogo-kornya/preobrazovanie-vyrazheniy-s-kornyami-vnesenie-mnozhitelya-pod-znak-kornya?konspekt&chapter_id=920
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=pKowL9ZOvbQ