8 класс. Алгебра. Свойства квадратных корней.

8 класс. Алгебра. Свойства квадратных корней.

Комментарии преподавателя

На сегодняшнем уроке мы рассмотрим один из видов преобразований выражений, содержащих квадратные корни, а именно внесение множителя под знак корня. Вначале мы повторим базовую теорию, а затем перейдем к практическим примерам.

 

 

Тема: Функ­ция . Свой­ства квад­рат­но­го корня

Урок: Пре­об­ра­зо­ва­ние вы­ра­же­ний с кор­ня­ми (вне­се­ние мно­жи­те­ля под знак корня)

 1. Повторение определения и основных свойств квадратного корня

Нач­нем урок с по­вто­ре­ния тео­рии.

Опре­де­ле­ние. Квад­рат­ным кор­нем из неот­ри­ца­тель­но­го числа  на­зы­ва­ет­ся такое неот­ри­ца­тель­ное число , квад­рат ко­то­ро­го равен .

.

Из опре­де­ле­ния сле­ду­ет тож­де­ство  при .

При­мер 1. Вы­чис­ли­те , т. к. .

При­мер 2. Ре­ши­те урав­не­ние 

Ре­ше­ние. Урав­не­ние может по­ка­зать­ся оче­вид­ным и вы­пол­нен­ным все­гда при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной . Дей­стви­тель­но, мы уже зна­ко­мы с тож­де­ством, ко­то­рое пред­став­ля­ет собой это урав­не­ние, од­на­ко, важно пом­нить, что оно вы­пол­не­но при , что и будет яв­лять­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния. Это тот слу­чай, в ко­то­ром ре­ше­ни­ем урав­не­ния может яв­лять­ся не одно или несколь­ко чисел, как мы при­вык­ли, а целая чис­ло­вая по­лу­ось.

Ответ..

Ос­нов­ные свой­ства квад­рат­но­го корня:

а) 

б) 

в) 

Рас­смот­рим две важ­ней­шие ти­по­вые за­да­чи урока, на ме­то­де ре­ше­ния ко­то­рых будет ба­зи­ро­вать­ся под­ход к дру­гим по­доб­ным за­да­чам.

 2. Две типовых задачи на внесение множителя под квадратный корень

При­мер 3. Вне­си­те мно­жи­тель под знак корня: а) , б) .

Ре­ше­ние. За­да­чи от­ли­ча­ют­ся толь­ко зна­ком вы­ра­же­ния, ко­то­рое яв­ля­ет­ся мно­жи­те­лем перед кор­нем, но это прин­ци­пи­аль­ный ас­пект даль­ней­ше­го ре­ше­ния.

а) Вне­се­ние по­ло­жи­тель­но­го мно­жи­те­ля под знак корня. Если , то , тогда .

б) Вне­се­ние от­ри­ца­тель­но­го мно­жи­те­ля под знак корня. Если , то  (т. к. ), тогда .

Ответ..

Как видно из при­ве­ден­но­го при­ме­ра, знак вно­си­мо­го под ко­рень вы­ра­же­ния важен, и если он от­ри­ца­тель­ный, то перед кор­нем после вне­се­ния мно­жи­те­ля дол­жен остать­ся минус, в слу­чае вне­се­ния по­ло­жи­тель­но­го мно­жи­те­ля, зна­че­ние вы­ра­же­ния оста­ет­ся по­ло­жи­тель­ным.

Когда нам из­вест­ны два прин­ци­пи­аль­ных под­хо­да к ре­ше­нию задач, можем пе­рей­ти к раз­лич­ным при­ме­рам.

 3. Различные примеры на внесение множителя под квадратный корень

При­мер 4. Вне­си­те мно­жи­тель под знак корня: а) , б) , в) .

Ре­ше­ние. а) Т. к. мно­жи­тель перед кор­нем по­ло­жи­тель­ный, то .

б) Т. к. мно­жи­тель перед кор­нем от­ри­ца­тель­ный, то .

в) В этой за­да­че может по­ка­зать­ся, что ре­ше­ние имеет раз­лич­ные ва­ри­ан­ты, т. к. знак вы­ра­же­ния перед кор­нем не из­ве­стен, но сле­ду­ет за­ме­тить, что такое же вы­ра­же­ние на­хо­дит­ся и под зна­ком корня, т. е. оно неот­ри­ца­тель­но по опре­де­ле­нию квад­рат­но­го корня (). Имеем ва­ри­ант для вне­се­ния неот­ри­ца­тель­но­го числа .

Ответ..

При­мер 5. Вне­си­те мно­жи­тель под знак корня и упро­сти­те: а) , б) .

Ре­ше­ние. За­да­чи по­хо­жи, од­на­ко, от­ли­ча­ют­ся зна­ка­ми вно­си­мых под ко­рень мно­жи­те­лей, под­ход к ре­ше­нию нам уже из­ве­стен, при­ме­ним его.

а) , тогда .

б) , тогда .

Ответ..

При­мер 6. Вне­си­те мно­жи­тель под знак корня и упро­сти­те: а) , б) .

Ре­ше­ние. а) По опре­де­ле­нию квад­рат­но­го корня , т. к. если про­из­ве­де­ние трех оди­на­ко­вых чисел неот­ри­ца­тель­но, то и эти числа неот­ри­ца­тель­ны, тогда вно­сим под ко­рень неот­ри­ца­тель­ное число: .

б) По опре­де­ле­нию квад­рат­но­го корня , тогда вно­сим под ко­рень от­ри­ца­тель­ное число: .

Ответ..

На сле­ду­ю­щем уроке рас­смот­рим более слож­ные за­да­чи на пре­об­ра­зо­ва­ния вы­ра­же­ний с кор­ня­ми, в ко­то­рых нам по­на­до­бят­ся зна­ния обо всех ос­нов­ных свой­ствах квад­рат­но­го корня.

 Источник конспекта: 

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=B_Bi3m5_VsM

Файлы

Нет дополнительных материалов для этого занятия.