8 класс. Алгебра. Свойства квадратных корней.
8 класс. Алгебра. Свойства квадратных корней.
Комментарии преподавателя
На данном уроке мы познакомимся с одной из важнейших операций при работе с корнями – вынесение множителя из-под знака корня. Кроме того, мы научимся извлекать корень из квадрата положительных и отрицательных чисел. На этом уроке мы сформулируем и докажем свойства квадратных корней, связанных с вынесением множителя из-под знака корня, а также разберём ряд примеров на эти свойства.
Тема: Функция 
. Свойства квадратного корня
Урок: Преобразование выражений с корнями (вынесение множителя из-под знака корня)
1. Повторение определения и свойств квадратного корня
Напомним определение квадратного корня:
квадратным корнем из неотрицательного числа
называется такое число неотрицательное число 
, квадрат которого равен : 
.
Из определения квадратного корня сразу следует следующее тождество:
.
Рассмотрим несколько примеров на вычисление корней: 
, т. к. 
; 
, т. к. 
; 
, т. к. 
; 
.
Напомним также основные свойства квадратного корня:
1. 
(
). Если и – неотрицательные числа, то корень из их произведения равен произведению корней.
2. 
(
). Если – неотрицательное число, а – положительное число, то корень из их отношения равен отношению корней.
3. 
(
).
Примеры:
1. 
.
2. 
.
2. Свойство корня – вынесение множителя из-под знака корня
Докажем теперь ещё одно не менее важное свойство квадратного корня:
, т. е.: 
.
Доказательство:
Напомним вначале определение модуля: 
. Примеры: 
, 
, 
.
Рассмотрим два случая:
1. 
, т. к. 
– можно пользоваться определением корня квадратного из неотрицательного числа.
2. 
. В этом случае: 
. Тогда для числа 
можем воспользоваться результатами первого случая: 
.
Утверждение доказано
Естественным обобщением данного свойства является формула:
.
3. Примеры решения задач на вынесение множителя из-под знака корня
Рассмотрим типовые задачи на применение указанного свойства.
Примеры:
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
Необходимо понимать, что во всех рассмотренных примерах значение корней всегда получается неотрицательным (несмотря на наличие перед некоторыми ответами знака 
. К примеру, в примере 4 ответ положительный, так как знак выражения 
, а перед самим выражением стоит ещё один . Как известно, минус на минус даёт плюс.
Решим ещё несколько примеров, в которых фигурируют уже несколько переменных:
5. 
(
– по условию, 
– всегда, так как квадрат всегда неотрицательный).
6. 
( – по условию, – всегда, так как квадрат всегда неотрицательный).
7. 
(
– по условию, 
– так как 
).
8. 
(
– по условию, – так как ).
Итак, мы рассмотрели вынесение множителя из-под знака корня. Мы научились выносить множитель из-под корня с учётом его знака, а также решили несколько примеров.
На следующем уроке мы научимся вносить множитель под знак квадратного корня.
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/funktsiya-y-x-svoystva-kvadratnogo-kornya/preobrazovanie-vyrazheniy-s-kornyami-vynesenie-mnozhitelya-iz-pod-znaka-kornya?konspekt&chapter_id=920
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=_QowbpPNMR8