8 класс. Алгебра. Алгебраические дроби.
8 класс. Алгебра. Алгебраические дроби.
Комментарии преподавателя
В данном уроке будет рассмотрено сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями. Мы уже знаем, как складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями. Оказывается, что алгебраические дроби подчиняются тем же самым правилам. Умение работать с дробями с одинаковыми знаменателями является одним из краеугольных камней в изучении правил работы с алгебраическими дробями. В частности, понимание данной темы позволит легко освоить более сложную тему – сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. В рамках урока мы изучим правила сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, а также разберём целый ряд типовых примеров
Правило сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями
Сформулируем правило сложения (вычитания) алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями (оно совпадает с аналогичным правилом для обыкновенных дробей): 
То есть для сложения или вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями необходимо составить соответствующую алгебраическую сумму числителей, а знаменатель оставить без изменений.
Это правило мы разберём и на примере обыкновенных дробей, и на примере алгебраических дробей.
Примеры применения правила для обыкновенных дробей
Пример 1. Сложить дроби: 
.
Решение
Сложим числители дробей, а знаменатель оставим таким же. После этого разложим числитель и знаменатель на простые множители и сократим. Получим: 
.
Примечание: стандартная ошибка, которую допускают при решении подобного рода примеров, заключается в следующем способе решения: 
. Это грубейшая ошибка, поскольку знаменатель остаётся таким же, каким был в исходных дробях.
Ответ: 
.
Пример 2. Сложить дроби: 
.
Решение
Данная задача ничем не отличается от предыдущей: 
.
Ответ: 
.
Примеры применения правила для алгебраических дробей
От обыкновенных дробей перейдём к алгебраическим.
Пример 3. Сложить дроби: 
.
Решение:как уже говорилось выше, сложение алгебраических дробей ничем не отличается от сложения обыкновенных дробей. Поэтому метод решения такой же: 
.
Ответ: 
.
Пример 4. Вычесть дроби: 
.
Решение
Вычитание алгебраических дробей отличается от сложения только тем, что в числитель записывается разность числителей исходных дробей. Поэтому 
.
Ответ: 
.
Пример 5. Вычесть дроби: 
.
Решение: 
.
Ответ: 
.
Пример 6. Упростить: 
.
Решение: 
.
Ответ: 
.
Примеры применения правила с последующим сокращением
В дроби, которая получается в результате сложения или вычитания, возможны сокращения. Кроме того, не стоит забывать об ОДЗ алгебраических дробей.
Пример 7. Упростить: 
.
Решение: 
.
При этом 
. Вообще, если ОДЗ исходных дробей совпадает с ОДЗ итоговой, то его можно не указывать (ведь дробь, полученная в ответе, также не будет существовать при соответствующих значениях переменных). А вот если ОДЗ исходных дробей и ответа не совпадает, то ОДЗ указывать необходимо.
Ответ: 
.
Пример 8. Упростить: 
.
Решение: 
. При этом y
(ОДЗ исходных дробей не совпадает с ОДЗ результата).
Ответ: 
.
Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями
Чтобы складывать и вычитать алгебраические дроби с разными знаменателями, проведём аналогию с обыкновенными дробями и перенесём её на алгебраические дроби.
Рассмотрим простейший пример для обыкновенных дробей.
Пример 1. Сложить дроби: 
.
Решение:
Вспомним правило сложения дробей. Для начала дроби необходимо привести к общему знаменателю. В роли общего знаменателя для обыкновенных дробей выступает наименьшее общее кратное (НОК) исходных знаменателей.
Определение
– наименьшее натуральное число, которое делится одновременно на числа 
и 
.
Для нахождения НОК необходимо разложить знаменатели на простые множители, а затем выбрать все простые множители, которые входят в разложение обоих знаменателей.
; 
. Тогда в НОК чисел 
должны входить две двойки и две тройки: 
.
После нахождения общего знаменателя, необходимо для каждой из дробей найти дополнительный множитель (фактически, поделить общий знаменатель на знаменатель соответствующей дроби).
.
Затем каждая дробь умножается на полученный дополнительный множитель. Получаются дроби с одинаковыми знаменателями, складывать и вычитать которые мы научились на прошлых уроках.
Получаем: 
.
Ответ:
.
Рассмотрим теперь сложение алгебраических дробей с разными знаменателями. Сначала рассмотрим дроби, знаменатели которых являются числами.
Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями
Пример 2. Сложить дроби: 
.
Решение:
Алгоритм решения абсолютно аналогичен предыдущему примеру. Легко подобрать общий знаменатель данных дробей: 
и дополнительные множители для каждой из них.
.
Ответ:
.
Итак, сформулируем алгоритм сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями:
1. Найти наименьший общий знаменатель дробей.
2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей (поделив общий знаменатель на знаменатель данной дроби).
3. Домножить числители на соответствующие дополнительные множители.
4. Сложить или вычесть дроби, пользуясь правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
Рассмотрим теперь пример с дробями, в знаменателе которых присутствуют буквенные выражения.
Пример 3. Сложить дроби: 
.
Решение:
Поскольку буквенные выражения в обоих знаменателях одинаковы, то следует найти общий знаменатель для чисел 
. Итоговый общий знаменатель будет иметь вид: 
. Таким образом, решение данного примера имеет вид:.
Ответ:.
Пример 4. Вычесть дроби: 
.
Решение:
Если «схитрить» при подборе общего знаменателя не удаётся (нельзя разложить на множители или воспользоваться формулами сокращённого умножения), то в качестве общего знаменателя приходится брать произведение знаменателей обеих дробей.
.
Ответ:
.
Вообще, при решении подобных примеров, наиболее сложным заданием является нахождение общего знаменателя.
Пример вычитания алгебраических дробей с разложением знаменателя на множители
Рассмотрим более сложный пример.
Пример 5. Упростить: 
.
Решение:
При нахождении общего знаменателя необходимо прежде всего попытаться разложить знаменатели исходных дробей на множители (чтобы упростить общий знаменатель).
В данном конкретном случае:
;
.
Тогда легко определить общий знаменатель: 
.
Определяем дополнительные множители и решаем данный пример:
.
Ответ:
.
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticheskie-operacii-nad-algebraicheskimi-drobyami/slozhenie-i-vychitanie-algebraicheskih-drobey-s-odinakovymi-znamenatelyami?konspekt&chapter_id=13
Источние видео: http://www.youtube.com/watch?v=EuOVn2d9lAY