8 класс. Алгебра. Алгебраические дроби.

Комментарии преподавателя

 

На данном уроке будут рассмотрены правила  деления алгебраических дробей, а также примеры на применение данных правил. Деление алгебраических дробей не отличается от  деления обыкновенных дробей. Вместе с тем, наличие переменных приводит к несколько более сложным способам упрощения полученных выражений. Несмотря на то, что  деление дробей выполняется проще, чем их сложение и вычитание, к изучению данной темы необходимо подойти крайне ответственно, поскольку в ней существует много «подводных камней», на которые обычно не обращают внимания. В рамках урока мы не только изучим правила умножения и деления дробей, но и разберём нюансы, которые могут возникнуть при их применении. 

Тема: Ал­геб­ра­и­че­ские дроби. Ариф­ме­ти­че­ские опе­ра­ции над ал­геб­ра­и­че­ски­ми дро­бя­ми

Урок: Де­ле­ние ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей

 1. Правила умножения и деления обыкновенных и алгебраических дробей

Пра­ви­ла умно­же­ния и де­ле­ния ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей аб­со­лют­но ана­ло­гич­ны пра­ви­лам умно­же­ния и де­ле­ния обык­но­вен­ных дро­бей. На­пом­ним их:

То есть, для того, чтобы умно­жить дроби, необ­хо­ди­мо умно­жить их чис­ли­те­ли (это будет чис­ли­тель про­из­ве­де­ния), и умно­жить их зна­ме­на­те­ли (это будет зна­ме­на­тель про­из­ве­де­ния).

Де­ле­ние на дробь – это умно­же­ние на пе­ре­вёр­ну­тую дробь, то есть, для того, чтобы раз­де­лить две дроби, необ­хо­ди­мо первую из них (де­ли­мое) умно­жить на пе­ре­вёр­ну­тую вто­рую (де­ли­тель).

 2. Частные случаи применения правил  деления дробей

Несмот­ря на про­сто­ту дан­ных пра­вил, мно­гие при ре­ше­нии при­ме­ров по дан­ной теме до­пус­ка­ют ошиб­ки в ряде част­ных слу­ча­ев. Рас­смот­рим по­дроб­нее эти част­ные слу­чаи:

Во всех этих пра­ви­лах мы поль­зо­ва­лись сле­ду­ю­щим фак­том: .

 3. Примеры  деления обыкновенных дробей

Решим несколь­ко при­ме­ров на  де­ле­ние обык­но­вен­ных дро­бей, чтобы вспом­нить, как поль­зо­вать­ся ука­зан­ны­ми пра­ви­ла­ми.

 

При­ме­ча­ние: при со­кра­ще­нии дро­бей мы поль­зо­ва­лись раз­ло­же­ни­ем числа на про­стые мно­жи­те­ли. На­пом­ним, что про­сты­ми чис­ла­ми на­зы­ва­ют­ся такие на­ту­раль­ные числа, ко­то­рые де­лят­ся толь­ко на  и на само себя. Осталь­ные числа на­зы­ва­ют­ся со­став­ны­ми. Число  не от­но­сит­ся ни к про­стым, ни к со­став­ным. При­ме­ры про­стых чисел: .

При­мер 1

Рас­смот­рим те­перь один из част­ных слу­ча­ев с обык­но­вен­ны­ми дро­бя­ми.

При­мер 2

Как видим,  де­ле­ние обык­но­вен­ных дро­бей, в слу­чае пра­виль­но­го при­ме­не­ния пра­вил, не яв­ля­ет­ся слож­ным.

 4. Примеры  деления алгебраических дробей (простые случаи)

Рас­смот­рим  де­ле­ние ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей.

При­мер 3

От­ме­тим, что со­кра­щать дроби после умно­же­ния можно и даже нужно по тем же пра­ви­лам, ко­то­рые мы до этого рас­смат­ри­ва­ли на уро­ках, по­свя­щён­ных со­кра­ще­нию ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей. Рас­смот­рим несколь­ко про­стых при­ме­ров на част­ные слу­чаи.

При­мер 4

При­мер 5

Рас­смот­рим те­перь несколь­ко более слож­ных при­ме­ров на умно­же­ние и де­ле­ние дро­бей.

При­мер 6

При­мер 7

При­мер 8

При­мер 9

При­мер 10

 5. Примеры  деления алгебраических дробей (сложные случаи)

До этого мы рас­смат­ри­ва­ли дроби, в ко­то­рых и чис­ли­тель, и зна­ме­на­тель яв­ля­лись од­но­чле­на­ми. Од­на­ко в ряде слу­ча­ев необ­хо­ди­мо пе­ре­мно­жить или по­де­лить дроби, чис­ли­те­ли и зна­ме­на­те­ли ко­то­рых яв­ля­ют­ся мно­го­чле­на­ми. В этом слу­чае пра­ви­ла оста­ют­ся та­ки­ми же, а для со­кра­ще­ния необ­хо­ди­мо ис­поль­зо­вать фор­му­лы со­кра­щён­но­го умно­же­ния и вы­не­се­ние за скоб­ки.

При­мер 11

При­мер 12

При­мер 13

На дан­ном уроке мы рас­смот­ре­ли пра­ви­ла  де­ле­ния ал­геб­ра­и­че­ских дро­бей, а также при­ме­не­ние этих пра­вил для кон­крет­ных при­ме­ров.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticheskie-operacii-nad-algebraicheskimi-drobyami/umnozhenie-i-delenie-algebraicheskih-drobey?konspekt&chapter_id=13

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=YHugLbrP1zY

Файлы