8 класс. Алгебра. Рациональные уравнения. Степень с отрицательным целым показателем.
8 класс. Алгебра. Рациональные уравнения. Степень с отрицательным целым показателем.
Комментарии преподавателя
.
В рамках данного урока мы обсудим методику решения рациональных уравнений. Вначале мы рассмотрим несколько примеров на повторение преобразования рациональных выражений, акцентируем внимание на важности уметь работать с такого рода преобразованиями, а затем перейдем непосредственно к разбору примеров уравнений.
Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями
Урок: Первые представления о решении рациональных уравнений
1. Понятие рационального уравнения и повторение преобразования рациональных выражений
Определение. Рациональное уравнение – это уравнение вида 
и все уравнения к нему сводящиеся, где 
и 
– многочлены.
Заметим, что решение множества рациональных уравнений основано на технике преобразования рациональных выражений, которую мы подробно рассматривали на предыдущих уроках. Начнем с повторения технологии подобных преобразований и решим несколько примеров.
Пример 1. Выполните подстановку и упростите выражение 
, где 
.
Решение. Вынесем 
за скобку:
.
Применим стандартный подход к упрощению подобных сложных выражений и выполним преобразования по действиям: сначала упростим выражение в скобках, а затем умножим на . Подставим значение переменной в выражение в скобках:
, после сокращений и сложения дробей получили упрощенный результат.
Теперь перейдем ко второму действию и умножим полученное выражение на значение :
.
Ответ. 
.
2. Решение простейших рациональных уравнений
Пример 4. Решить уравнение 
.
Решение. Начнем, как обычно, с упрощения рационального выражения, указанного в левой части уравнения. Для этого найдем наименьший общий знаменатель дробей, дополнительные множители и вычтем их:
.
На данном этапе решения акцентируем внимание на важном правиле решения рациональных уравнений: дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
В нашем случае в знаменателе уже имеется число, не равное нулю, поэтому имеем линейное уравнение из числителя:
.
Ответ.
.
Пример 5. Решить уравнение 
.
Решение. Для того чтобы воспользоваться правилом решения рациональных уравнений, перенесем все в левую сторону, чтобы справа получился ноль:
.
Для упрощения выражения, находящегося слева, сложим/вычтем дроби по хорошо известному нам алгоритму. Наименьший общий знаменатель дробей: 
.
.
В конце мы воспользовались уже сформулированным правилом решения рациональных уравнений (дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю). Полученные ограничения на область допустимых значений переменной не повлияли на полученный корень уравнения.
Ответ.
.
На сегодняшнем уроке мы рассмотрели основы техники решения рациональных уравнений и убедились, что прежде всего она базируется на умении преобразовывать рациональные выражения.
На следующем уроке мы продолжим работать с рациональными уравнениями.
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticheskie-operacii-nad-algebraicheskimi-drobyami/pervye-predstavleniya-o-reshenii-ratsionalnyh-uravneniy?konspekt&chapter_id=13
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=YBS_t908HjU