8 класс. Алгебра. Квадратичная функция. Функция у = к/х.

Функция у = кх², ее свойства и график.

ДАЛЬШЕ

Функция у = кх², ее свойства и график.

Комментарии преподавателя

На данном уроке мы познакомимся с квадратичной функцией вида и свойствами этой функции. Ранее мы уже знакомились с простейшей квадратичной функцией , сегодня же мы подробно рассмотрим влияние введенного коэффициента , рассмотрим принципиальные примеры, когда и , и увидим закономерность построения параболы для таких двух случаев. Весь урок будет посвящен рассмотрению положительных значений коэффициента .

Введение

Урок: Функция , ее свойства и график

1. Определение свойств коэффициента k > 0 на примере построения графиков трех простейших функций

Еще в прошлом году мы изучали построение графиков простейших функций: (константная), (линейная), (простейшая квадратичная). На сегодняшнем уроке мы рассмотрим усложненный вариант квадратичной функции , где коэффициент может быть каким угодно числом, например, или . Важно разобраться и понять, каким образом этот коэффициент влияет на построение квадратичной функции в частности и любой функции в целом. На данном уроке мы будем рассматривать только положительные значения этого коэффициента .

Изобразим в одной системе координат (рис. 1) графики трех функций: (синий пунктир), (красная линия), (зеленая линия).

Рис. 1.

Попробуем разобраться, каким образом численный коэффициент влияет на построение графика функции с помощью таблицы значений указанных функций:

1	2	-1	-2
1	4	1	4
2	8	2	8
	2		2

Из таблицы легко заметить такую закономерность: для всех значений аргумента значения функции в два раза больше, чем у функции , а значения функции в два раза меньше, чем у функции .

Таким образом, несложно понять, что коэффициент , который мы хотим исследовать, влияет на функцию следующим образом: все значения исходной простейшей функции умножаются на него, и получаются значения конечной функции.

Например, значение функции при : , а значение функции при : , т.е. умноженное на коэффициент , который в данном случае равен 2.

Единственное значение аргумента для всех трех рассмотренных функции, при котором можно не заметить влияние коэффициента - это . Но это не противоречит произведенным выводам, т.к. значение всех указанных функций в этой точке равно 0, а . Получаем, что выведенное нами правило преобразования квадратичной функции в зависимости от положительного значения коэффициента применимо ко всем ее значениям. Можно догадаться, что данное правило верно не только для квадратичной, но и для произвольной функции, что мы рассмотрим позднее.

Можно обратить внимание и на взаимное расположение преобразованных функций: график находится выше всего, затем ниже и под ними . Такое расположение понятно, значения функции для соответствующих значений аргумента самые большие у первого графика, в два раза меньше у второго и еще в два раза меньше у третьего.

Т.е. результатом построения функции при будет парабола с ветками направленными вверх, но более «пологими» при (зеленая линия) и более «крутыми» при (красная линия) относительно графика (см. рис. 2).

Рис. 2.

2. Формулировка общего правила построения функций, которые умножаются на коэффициент k > 0

Как действует коэффициент на квадратичную функцию, стало понятно. Теперь докажем, что аналогичным образом он действует и на любую функцию, что мы уже предположили ранее.

Изобразим в системе координат график произвольной функции (синяя линия) и попробуем построить ее преобразования с использованием коэффициента , например, такие: (зеленая линия) и (красная линия) (рис. 3).

Рис. 3.

Вычислим и построим опорные точки наших функций с помощью таблицы их значений аналогично предыдущему случаю:

Нанесем значения функций при аргументах и на график в виде точек и соответственно. Легко видеть, что выполнено введенное нами ранее правило: коэффициент увеличивает значение функции (растягивает) в два раза, а уменьшает значение функции (сжимает) в два раза.

Теперь можем обобщить и сформулировать правило действия коэффициента при умножении на любую функцию:

1) Если коэффициент , то все значения исходной простейшей функции умножаются на , и получаются значения конечной функции (график простейшей функции растягивается вдоль оси в раз);

2) Если коэффициент и представим в виде , то все значения исходной простейшей функции делятся на (умножаются на ), и получаются значения конечной функции (график простейшей функции сжимается вдоль оси в раз).

3. Свойства функции y = kx² при k > 0

Свойства функции при (парабола с ветками вверх, касающаяся оси – см. рис. 4).

1) Область определения: - любое число, т.к. любое число можно возвести в квадрат;

2) Область значений: , т.к. любое число, возведенное в квадрат, является неотрицательным, и его произведение с положительным коэффициентом также будет неотрицательным;

3) Нули функции: - точка касания с осью и пересечения с осью (вершина параболы);

4) Промежутки знакопостоянства функции: при любых значениях , ни при каком значении , что было указано выше;

5) Функция убывает при ;

6) Функция возрастает при ;

7) Функция непрерывна, т.е. на ней не присутствуют разрывы и график можно построить, не отрывая карандаша от бумаги. На самом деле в строгой формулировке это достаточно сложное понятие и более подробно мы будем с ним работать в 11 классе;

8) Наибольшее значение функции не существует, т.к. в области значений нет никакого числа, которое бы ее ограничивала;

9) Наименьшее значение функции (как минимально в области значений);

10) График симметричен относительно оси .

Рис. 4.

4. Определение монотонности функции

Более подробно остановимся на понятии монотонности функции.

Определение. Функция монотонно возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции: .

Определение. Функция монотонно убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: .

Теперь рассмотрим конкретные примеры.

5. Примеры на исследование свойств и построение графиков вида y = kx² при k > 0

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Решение. Для удобства изобразим график данной функции на рис. 5.

Рис. 5.

По свойству монотонности функции такого типа можем указать, что на отрезке функция монотонно убывает в диапазоне от до , т.е. наименьшее значение , а наибольшее .

Ответ. .

Пример 2. Найдите пределы изменения функции на отрезке .

Решение. Изобразим график данной функции с необходимыми нам элементами на рис. 6.

Рис. 6.

На указанном отрезке по оговоренным нами свойствам функция убывает, в крайних точках она равна: . Если исследовать свойства функции более полно и найти ее наибольшее и наименьшее значения, то очевидно, что . Т.е. пределы изменения функции: .

Ответ..

Пример 3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Решение. Изобразим график функции с необходимыми элементами на рисунке 7.

Рис. 7.

Особенность этой задачи по сравнению с предыдущими в том, что необходимо сравнивать значения функции, выходя за пределы одного участка монотонности. На участке функция убывает в диапазоне , на участке функция возрастает в диапазоне . Как видно из указанных промежутков монотонности, наибольшее значение функции достигается при , а наименьшее при .

Результат решения можно сформулировать и в терминах минимумов и максимумов:

;

.

Ответ. .

Пример 4. Изобразить схематически графики функций .

Решение. Изобразим в одной системе координат все указанные графики с необходимыми для объяснения элементами и прокомментируем их (см. рис. 8). .

Рис. 8.

Рассмотрим точку : в этой точке значение первой функции () равнялось длине отрезка , а для построения точки на графике второй функции () длину этого отрезка необходимо увеличить в 4 раза и получить значение равное длине отрезка . Аналогично получаем точку на графике третьей функции () путем уменьшения длины отрезка в 4 раза и получения отрезка . Все эти преобразования мы проделываем, исходя из сформулированного нами правила работы с коэффициентом , который умножается на функцию.

Аналогично мы работаем и с левой частью графиков и получаем точки и при построении отрезков и соответственно.

Т.е. из простейшего графика функции мы получаем график функции путем растяжения вдоль оси в 4 раза, а график функции путем сжатия вдоль оси в 4 раза.

Ответ. Построено.

На сегодняшнем занятии мы рассмотрели свойства и график функции при , на следующем уроке мы уделим внимание случаю исследования свойств функции того же типа, но при .

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/kvadratichnaya-funkciya-funkciya-ykxb/funktsiya-y-k-x-sup-2-sup-ee-svoystva-i-grafik?konspekt&chapter_id=14

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=8aFvZeMCJmg