8 класс. Алгебра. Квадратичная функция. Функция у = к/х.

Комментарии преподавателя

 Как построить график функции у = f (x + t), если известен график функции у = f(x)

Кон­кре­ти­зи­ру­ем за­да­чу.

Дано:

Кри­вая ; гра­фик этой функ­ции нам из­ве­стен

 (дей­стви­тель­ное число)

По­стро­ить:

Это и есть за­да­ча на­ше­го урока. Рас­смот­ре­ние этой за­да­чи нач­нем с про­стей­ших при­ме­ров.

 Пример 1

При­мер 1. По­стро­ить а) у = (х – 1)2; б) у = (х + 1)2

Дано:

у = х2(гра­фи­ком дан­ной функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла (рис. 1).

Рис. 1. Па­ра­бо­ла

Ре­ше­ние:

По­яс­ним ха­рак­тер кри­вых, их вза­им­ное рас­по­ло­же­ние по­яс­ним с по­мо­щью таб­ли­цы.

х	-2	-1	0	1	2
у = х2	4	1	0	1	4
у = (х – 1)2	9	4	1	0	1
у = (х – 1)2	1	0	1	4	9

Стро­им гра­фик функ­ции у = (х – 1)2 (рис. 2):

Рис. 2. Гра­фик функ­ции у = (х – 1)2

Сле­ду­ет за­ме­тить, что кри­вая а) была по­лу­че­на сдви­гом на 1 еди­ни­цу впра­во. Кри­вая же б) будет по­лу­че­на сдви­гом на 1 еди­ни­цу влево (что можно про­ве­рить, по­ста­вив по­лу­чен­ные в таб­ли­це точки на ко­ор­ди­нат­ную пря­мую) (рис. 3):

Рис. 3. Сдвиг гра­фи­ка

За­ме­тим еще раз, что если к х при­бав­ля­ет­ся 1 еди­ни­ца, то сдвиг ис­ход­ной пря­мой идет влево вдоль оси Ох, а если от­ни­ма­ет­ся – то сдвиг гра­фи­ка идет впра­во.

Вспом­нить, когда сдвиг идет на­пра­во, а когда – на­ле­во, нам по­мо­га­ет самая ха­рак­тер­ная точка па­ра­бо­лы – вер­ши­на па­ра­бо­лы.

Зна­че­ние у = 0 до­сти­га­ет­ся этими функ­ци­я­ми (рис. 4):

при х = 0, если у = х2

при х = 1, если у = (х – 1)2

при х = -1, если у = (х + 1)2

Рис. 4. Слу­чаи, когда у = 0

Если у нас у = (х – 1)2, то кри­вая сдви­га­ет­ся на 1 еди­ни­цу впра­во.

Если у нас у = (х + 1)2, то кри­вая сдви­га­ет­ся на 1 еди­ни­цу влево.

Мы рас­смот­ре­ли кон­крет­ный слу­чай с кон­крет­ны­ми чис­ла­ми. Но вме­сто чисел, можно взять любое дей­стви­тель­ное число; вме­сто функ­ции у = х2можно взять любую функ­цию. По­лу­чим важ­ное пра­ви­ло.

 Правило

Чтобы по­лу­чить у = f(x + t), надо кри­вую у = f(x):

- сдви­нуть на  еди­ниц впра­во, если t < 0,

- сдви­нуть на  еди­ниц влево, если t > 0

 Как построить график функции у = f (x) + m, если известен график функции у = f(x) 

На про­шлом уроке мы на­учи­лись гра­фик функ­ции . Сей­час же наша за­да­ча – на­учить­ся стро­ить гра­фик функ­ции . Рас­смот­рим при­мер:

 Задача 1

Дано:

у = х2(гра­фи­ком дан­ной функ­ции будет па­ра­бо­ла) (рис. 1)

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

По­стро­ить:

а) у = х2 + 1

б) у = х2 - 1

Ре­ше­ние: По­яс­ним ха­рак­тер кри­вых, их вза­им­ное рас­по­ло­же­ние по­яс­ним с по­мо­щью таб­ли­цы:

х	0	1	-1	2	-2
у = х2	0	1	1	4	4
у = х2 + 1	1	2	2	5	5
у = х2 – 1	-1	0	0	3	3

Стро­им гра­фик функ­ции у = х2 + 1 (рис. 2):

Рис. 2. Гра­фик функ­ции у = х2 + 1

Гра­фик этой функ­ции по­лу­ча­ет­ся с по­мо­щью сдви­га вверх на 1 еди­ни­цу гра­фи­ка ис­ход­ной функ­ции.

Гра­фик же сле­ду­ю­щей функ­ции мы по­лу­чим сдви­гом ис­ход­ной функ­ции вниз на 1 еди­ни­цу (рис. 3):

Рис. 3. Гра­фик функ­ции у = х2 – 1

Итак, чтобы по­стро­ить гра­фик функ­ции у = х2 + 1, надо гра­фик ис­ход­ной функ­ции сдви­нуть на 1 еди­ни­цу вверх. Чтобы по­стро­ить гра­фик функ­ции у = х2 – 1, необ­хо­ди­мо гра­фик ис­ход­ной функ­ции сдви­нуть на 1 еди­ни­цу вниз.

Сдви­ги вверх и вниз при­во­дят к из­ме­не­нию мно­же­ства зна­че­ний. Мно­же­ство зна­че­ний ил­лю­стри­ру­ет эти сдви­ги:

        

;             

;        

Мы рас­смот­ре­ли част­ный слу­чай, когда к х2 при­бав­ля­ли или от­ни­ма­ли еди­ни­цу. От­сю­да сле­ду­ет пра­ви­ло:

Пра­ви­ло по­стро­е­ния не из­ме­нит­ся при . Пра­ви­ло также не из­ме­нит­ся, если мы возь­мем любую дру­гую функ­цию.

Сфор­му­ли­ру­ем важ­ное для нас пра­ви­ло:

 Правило

Чтобы по­лу­чить у = f(х) + m, надо кри­вую у = f(x):

- сдви­нуть на  еди­ниц вверх, если m > 0,

- сдви­нуть на  еди­ниц вниз, если m < 0

Ри­су­нок отоб­ра­жа­ет гра­фи­че­ски дан­ное пра­ви­ло (рис. 4):

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция пра­ви­ла

На этом уроке вы узнаете, как построить график функции у = f (x + t) + m, если известен график функции у = f(x)

 Построение графика y = f (x + t) + m через повторение правил на построение y = f(x + t) и y = f(x) + m

Мы умеем стро­ить гра­фик функ­ции y = f(x+t), если из­ве­стен гра­фик функ­ции y = f(x).

Пра­ви­ло по­стро­е­ния гра­фи­ков функ­ции y = f(x+t):

y = f(x+t)

y = f(х) сдви­га­ем:

- при  на  еди­ниц  

- при  на  еди­ниц 

Пра­ви­ло по­стро­е­ния гра­фи­ков функ­ции y = f(x) + m:

y = f(x) + m

y = f(х) сдви­га­ем:

- при  на  еди­ниц 

- при  на  еди­ниц 

 Пример №1 на построение графика y = f (x + t) + m

При­мер. По­стро­ить гра­фик функ­ции 
Дано:
Ре­ше­ние. 1. Сна­ча­ла мы долж­ны по­стро­ить гра­фик функ­ции вида  в нашем слу­чае это .

Так как -1 < 0, то, со­от­вет­ствен­но, гра­фик сдви­га­ет­ся вдоль оси Ох впра­во на 1 еди­ни­цу (рис. 1).

Рис. 1. Гра­фик функ­ции 

2. Те­перь по­стро­им :
Так как , а 2 > 0, то гра­фик, по­лу­чен­ный в преды­ду­щем дей­ствии, мы сдви­га­ем вверх 2 еди­ни­цы (рис. 2).

 

Рис. 2. Гра­фик функ­ции 
Этот гра­фик и будет гра­фи­ком тре­бу­е­мой функ­ции. Точка пе­ре­се­че­ния с осями – (0; 3).

При­мер решен.

 Правило построения графика y = f (x + t) + m

В дан­ном при­ме­ре числа -1 и 2 можно за­ме­нить на па­ра­мет­ры t и m со­от­вет­ствен­но.

Функ­цию  также можно за­ме­нить на любую дру­гую функ­цию. В ре­зуль­та­те можно сфор­му­ли­ро­вать пра­ви­ло по­стро­е­ния гра­фи­ка функ­ции у = f (x + t) + m:

Чтобы по­лу­чить кри­вую , надо кри­вую  сдви­нуть:

- при  на |t| еди­ниц  

- при  на |t| еди­ниц 

- при  на |m| еди­ниц 

- при  на |m| еди­ниц 

Источник конспекта:http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/kvadratichnaya-funkciya-funkciya-ykxb/kak-postroit-grafik-funktsii-u-f-x-l-m-esli-izvesten-grafik-funktsii-u-f-x?konspekt

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/kvadratichnaya-funkciya-funkciya-ykxb/kak-postroit-grafik-funktsii-u-f-x-m-esli-izvesten-grafik-funktsii-u-f-x?konspekt

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/kvadratichnaya-funkciya-funkciya-ykxb/kak-postroit-grafik-funktsii-u-f-x-l-esli-izvesten-grafik-funktsii-u-f-x?konspekt

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=87ZIEIqyN6s

Файлы

Нет дополнительных материалов для этого занятия.