9 класс. Алгебра. Прогрессии.
9 класс. Алгебра. Прогрессии.
Комментарии преподавателя
На этом уроке мы рассмотрим арифметическую прогрессию и ее свойства.
Вначале дадим определение арифметической прогрессии и приведем ряд примеров. Далее выведем формулу n-го члена арифметической прогрессии и докажем, что арифметическая прогрессия – это линейная функция. В конце решим ряд примеров на пройденный материал.
Тема: Прогрессии
Урок: Определение и свойства арифметической прогрессии, формула n-го члена
1. Определение арифметической прогрессии
Вспомним, что числовая последовательность – частный случай функции, функции, определенной на множестве натуральных чисел. Арифметическая прогрессия – частный случай числовой последовательности.
Рассмотрим примеры, дающие представление об арифметической прогрессии.
1. Задана последовательность чисел: 
Закономерность образования данной последовательности: каждый последующий член больше предыдущего на 4 (обозначим это число буквой d), т.е. 
Данную последовательность можно задать рекуррентно: 
. Заметим, что эта последовательность является возрастающей (
) .
2. Задана последовательность чисел: 
В этой последовательности все числа равны между собой, 
.
3. Задана последовательность чисел: 
Закономерность образования данной последовательности: каждый последующий член меньше предыдущего на 2. Чтобы получить последующий член надо к предыдущему прибавить число (-2), т.е. 
Данную последовательность можно задать рекуррентно: 
. Заметим, что эта последовательность является убывающей (
) .
Дадим определение арифметической прогрессии.
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называется арифметической прогрессией, число d называется ее разностью.
Арифметическая прогрессия обозначается следующим образом:
.
Арифметическая прогрессия может быть задана рекуррентно: 
Непосредственно из определения арифметической прогрессии следуют такие свойства:
- если 
, то арифметическая прогрессия 
- возрастающая;
- если 
, то арифметическая прогрессия - убывающая.
2. Формула n-го члена арифметической прогрессии
Из определения арифметической прогрессии следует истинность равенств: 
. Тогда
и т.д. Значит, 
Т.е., зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член.
Арифметическую прогрессию считают заданной, если известен ее первый член и разность.
Формулу называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.
3. Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии
Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно доказать с помощью метода математической индукции.
Дано: , 
.
Доказать: (1)
Доказательство.
Формула (1) верна при n=1. Действительно, 
.
Предположим, что формула (1) верна при n=k, т.е. 
.
Докажем, что формула (1) верна и при n=k+1, т.е. 
.
Из условия 
и предположения получаем:
.
Согласно принципу математической индукции формула (1) верна для любого натурального числа.
4. Исследование арифметической прогрессии
Из формулы n-го члена арифметической прогрессии следует, что
. Это означает, что арифметическая прогрессия зависит от n, т.е. является функцией натурального аргумента.
Вывод: арифметическая прогрессия – это линейная функция натурального аргумента 
, где 
.
Если , то линейная функция возрастает и арифметическая прогрессия - возрастающая;
если , то линейная функция убывает и арифметическая прогрессия - убывающая.
5. Примеры
Пример 1.
Дано: =
.
Найти: формулу n-го члена арифметической прогрессии 
.
Доказать: - возрастающая.
Дать: геометрическую иллюстрацию.
Решение.
.Тогда 
, т.е. 
.
Поскольку 
, заданная арифметическая прогрессия – возрастающая.
Чтобы дать геометрическую иллюстрацию данной арифметической прогрессии, нужно построить график линейной функции 
и отметить точки с абсциссами, равными 1,2,3,4,…(см. Рис. 1).
Рис. 1. График функции
Пример 2.
Дано: =
.
Найти: формулу n-го члена арифметической прогрессии .
Дать: геометрическую иллюстрацию.
Решение.
.
Тогда 
для любого натурального числа.
Чтобы дать геометрическую иллюстрацию данной арифметической прогрессии, нужно построить график линейной функции 
и отметить точки с абсциссами, равными 1,2,3,4,…(см. Рис. 2).
Рис. 2. График функции
Пример 3.
Дано: =
.
Найти: формулу n-го члена арифметической прогрессии .
Доказать: - убывающая.
Дать: геометрическую иллюстрацию.
Решение.
.
Тогда 
, т.е. 
.
Поскольку 
, заданная арифметическая прогрессия – убывающая.
Чтобы дать геометрическую иллюстрацию данной арифметической прогрессии, нужно построить график линейной функции 
и отметить точки с абсциссами, равными 1,2,3,4,…(см. Рис. 3).
Рис. 3. График функции
Пример 4.
Дано: , 
.
Найти: 
; наименьший положительный член.
Решение.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: 
.
Тогда 
, т.е. 
.
Чтобы найти наименьший положительный член, надо опять воспользоваться формулой n-го члена арифметической прогрессии.
. Тогда 
, и значит 
.
Наименьший положительный член прогрессии 
.
Ответ: ; 
- наименьший положительный член.
Пример 5.
Дано: , 
.
Найти: 
.
Решение.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: .
Тогда 
, 
, 
.
Ответ: 
.
Урок: Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии
1. Вступление
Рассмотрим задачу: найти сумму натуральных чисел от 1 до 100 включительно.
Дано: 1, 2, 3, …, 98, 99, 100.
Найти: S100=1+2+3 … +98 + 99 + 100.
Решение: S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101+101+101+…+101=101 х 50=5050.
Ответ: 5050.
Последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, …, 98, 99, 100 является арифметической прогрессией: а1=1, d=1.
Мы нашли сумму первых ста натуральных чисел, т.е. сумму первых n членов арифметической прогрессии.
Рассмотренное решение предложил великий математик Карл Фридрих Гаусс, живший в 19 веке. Задача была им решена в возрасте 5-ти лет.
Историческая справка: Иога́нн Карл Фри́дрих Га́усс (1777 — 1855) — немецкий математик, механик, физик и астроном. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». Лауреат медали Копли (1838), иностранный член Шведской (1821) и Российской (1824) Академий наук, английского Королевского общества. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных в одинаковы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгновенно получил результат: 101x50=5050.
2. Вывод формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии
Рассмотрим аналогичную задачу для произвольной арифметической прогрессии.
Дано: 
: 
Найти: сумму первых n членов арифметической прогрессии.
Решение:
Покажем, что все выражения в скобках равны между собой, а именно выражению 
. Пусть d – разность арифметической прогрессии. Тогда:
;
; и т.д. Следовательно, мы можем записать:
. Откуда получаем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:
.
3. Решение задач на применение формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии
1. Решим задачу о сумму натуральных чисел от 1 до 100 с помощью формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии:
Решение: а1=1, d=1, n=100.
Общая формула:
.
В нашем случае: 
.
Ответ: 5050.
2. Дано: 
.
Найти: 
.
Решение.
Общая формула:
. Найдем 
по формуле n–го члена арифметической прогрессии: 
.
.
В нашем случае: 
.
Ответ: 
.
3. Дано: 
.
Найти: 
.
Решение:
Чтобы найти 
, сначала надо найти 
.
Это можно сделать по общей формуле .Сначала применим эту формулу для нахождения разности арифметической прогрессии.
, т.е. 
. Значит 
.
Теперь можем найти .
.
Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии
, найдем 
.
.
.
Ответ: 
.
4. Вывод второй формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии
Получим вторую формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии, а именно: докажем, что 
.
Доказательство:
В формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии подставим выражение для 
, а именно . Получим: 
, т.е. . Что и требовалось доказать.
Проанализируем полученные формулы. Для вычислений по первой формуле надо знать первый член, последний член и n по второй формуле – надо знать первый член, разность и n.
И в заключение заметим, что в любом случае Sn– это квадратичная функция от n, потому что 
.
5. Решение задач на применение второй формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии
1. Дано: 
.
Найти: 
.
Решение:
Общая формула:
.
В нашем случае:
.
Ответ: 403.
2. Найти сумму всех двузначных чисел, кратных 4.
Решение:
{12; 16; 20; …; 96} – множество чисел, удовлетворяющих условию задачи.
Значит, имеем арифметическую прогрессию 
.
n найдем из формулы для :
.
, т.е. 
. Значит 
.
Используя вторую формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии
, найдем 
.
.
Ответ: 
.
3. Дано: 
.
Найти: S=
.
Требуется найти сумму всех членов с 10 по 25-й включительно.
Один из способов решения заключается в следующем:
.
Следовательно, 
.
.
.
.
Ответ: 
.
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/progressii/opredelenie-i-svoystva-arifmeticheskoy-progressii-formula-ee-n-go-chlena?konspekt&chapter_id=38
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=tQEVKFGcjL0