9 класс. Алгебра. Рациональные неравенства и их системы.
9 класс. Алгебра. Рациональные неравенства и их системы.
Комментарии преподавателя
Решить неравенство 2 – 2
>4.
1. Любой член неравенства можно перенести в другую сторону с противоположным знаком, равносильность, эквивалентность не нарушится.
2 – 2 > 4 <=> -2 > 4 – 2 <=> -2 > 2
Эквивалентность не нарушилась, о чем мы говорим вот таким знаком <=>.
2. Второе правило нам говорит, что обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, при этом знак неравенства изменится на противоположный.
3. И еще одно правило: обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, и знак неравенства не изменится.
Теперь исходное неравенство имеет вид: -2x > 2. Давайте обе части неравенства разделим на (-2):
-2 >2 <=> 
<-1. Знак неравенства изменится, т.к. мы делим на (-2) и пользуемся соответствующим правилом.
Мы пользовались равносильными, эквивалентными преобразованиями и получили правильный ответ: < -1.
Еще один пример, решить неравенство a(a – 2) – a2 > 5 – 3a. Делаем стандартные преобразования: раскрываем скобки, получаем равносильное неравенство, которое потом упрощаем, т.е. приводим подобные члены – a2 уничтожается, -3a переносим, меняя знак.
a(a – 2) – a2 > 5 – 3a <=> a2 – 2a - a2 > 5 – 3a <=> 3a – 2a > 5 <=> a > 5.
Итак, a(a – 2) – a2 > 5 – 3a – исходное неравенство, a > 5 – его решение. Мы пользовались только эквивалентными, равносильными преобразованиями и получили ответ, который не надо проверять.
Следующий пример, решить неравенство 5y2 – 5y(y + 4) ≥ 100.
Любые неравенства, в том числе и простейшие, которые мы сейчас рассматриваем, решаются только эквивалентными преобразованиями. Выполняем их: скобки, приводим подобные члены:
5y2 – 5y(y + 4) ≥ 100 <=> 5y2 – 5y2 – 20y ≥ 100 <=> -20y ≥ 100 <=> 20y ≤ -100 <=> y ≤-5.
Исходное неравенство 5y2 – 5y(y + 4) ≥ 100, его ответ y ≤-5.
Таким образом, мы рассмотрели основные понятия, связные с неравенством, вспомнили, что значит «решить неравенство», что такое «общее решение неравенства», вспомнили, что неравенства можно решать только эквивалентными преобразованиями, и выяснили, что же это за эквивалентные преобразования.
Еще один пример, решить неравенство a(a – 2) – a2 > 5 – 3a. Делаем стандартные преобразования: раскрываем скобки, получаем равносильное неравенство, которое потом упрощаем, т.е. приводим подобные члены – a2 уничтожается, -3a переносим, меняя знак.
a(a – 2) – a2 > 5 – 3a <=> a2 – 2a - a2 > 5 – 3a <=> 3a – 2a > 5 <=> a > 5.
Итак, a(a – 2) – a2 > 5 – 3a – исходное неравенство, a > 5 – его решение. Мы пользовались только эквивалентными, равносильными преобразованиями и получили ответ, который не надо проверять.
Следующий пример, решить неравенство 5y2 – 5y(y + 4) ≥ 100.
Любые неравенства, в том числе и простейшие, которые мы сейчас рассматриваем, решаются только эквивалентными преобразованиями. Выполняем их: скобки, приводим подобные члены:
5y2 – 5y(y + 4) ≥ 100 <=> 5y2 – 5y2 – 20y ≥ 100 <=> -20y ≥ 100 <=> 20y ≤ -100 <=> y ≤-5.
Исходное неравенство 5y2 – 5y(y + 4) ≥ 100, его ответ y ≤-5.
Таким образом, мы рассмотрели основные понятия, связные с неравенством, вспомнили, что значит «решить неравенство», что такое «общее решение неравенства», вспомнили, что неравенства можно решать только эквивалентными преобразованиями, и выяснили, что же это за эквивалентные преобразования.
Следующий пример. Решить неравенство:
Решаем только эквивалентными преобразованиями: перенесем все в одну сторону и приведем все к общему знаменателю, далее обе части можно умножить на знаменатель и получить только числитель. Далее нам приходится разделить на отрицательное число. Это сделать можно, если знак неравенства изменить на противоположный:
Итак, мы продемонстрировали решение некоторого количества примеров эквивалентными преобразованиями, и только ими можно решать неравенства.
Линейные неравенства – это неравенства вида ax + b > 0. Линейное неравенство тесно связано с линейной функцией. В левой части неравенства стоит линейная функция y = ax + b. Мы знаем график линейной функции, мы знаем, где она положительная, где отрицательная, и поэтому с помощью графика линейной функции мы можем решить неравенство. Например, решить неравенство: 2x + 1 > 0. Рассмотрим линейную функцию y = 2x + 1, составим таблицу:
|
x |
0 |
|
|
y |
1 |
0 |
Эта функция положительна при всех значениях x больше 
. Ответ: x > .
Таким образом, выясняется, что линейная функция разбивает всю область определения на два больших луча. В одном луче она отрицательна, в другом луче она положительна, и, следовательно, решение неравенства очень просто.
Приведем еще один пример. Решить неравенство: -3x + 6 > 0. Снова решаем с помощью линейной функции. Рассмотрим функцию y = -3x + 6 и построим ее график с помощью таблицы:
|
x |
0 |
|
||
|
y |
6 |
|
Нулем этой функции является 2. Эта функция сохраняет свой знак при 
(-∞; 2), и она положительна. И она также сохраняет свой знак при 
(2; ∞), и при всех этих значениях функция отрицательна. Нам нужны те x, при которых функция положительна. Получим ответ x 
, запишем его в виде промежутка (-∞; 2).
Итак, мы рассмотрели основные положения, которые нужны для решения неравенств, вспомнили, что такое неравенство, что такое частное решение, что такое общее решение, что такое эквивалентные преобразования, и рассмотрели решение линейных неравенств с помощью эквивалентных преобразований или с помощью графика линейной функции.
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/sistemy-racionalnyh-neravenstv/osnovnye-ponyatiya-reshenie-lineynyh-neravenstv?konspekt&chapter_id=22
Источник теста: http://testedu.ru/test/matematika/9-klass/linejnyie-i-kvadratnyie-neravenstva.html
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=0NU3Qvs1Wuw