9 класс. Алгебра. Рациональные неравенства и их системы.

Комментарии преподавателя

 Определение модуля и его геометрический смысл.

Мо­ду­лем числа t на­зы­ва­ет­ся само число t, если оно боль­ше либо равно 0. Либо про­ти­во­по­лож­ное ему число t, если оно мень­ше 0

Ино­гда опре­де­ле­ние дают иначе. Мо­дуль t равен t для по­ло­жи­тель­ных чисел и для нуля. И мо­дуль t равен -t, когда под мо­ду­лем стоит от­ри­ца­тель­ное число либо 0.

При­мер. 

 

Мо­ду­лем на­зы­ва­ет­ся само число, если оно не от­ри­ца­тель­ное, и про­ти­во­по­лож­ное число, если оно от­ри­ца­тель­ное.

Рис. 3. Мо­дуль числа 3

Гео­мет­ри­че­ски (рис. 3)

 – это рас­сто­я­ние от точки с ко­ор­ди­на­той 3 до 0.

 – это рас­сто­я­ние от точки с ко­ор­ди­на­той -3 до 0.

 – это рас­сто­я­ние от точки с ко­ор­ди­на­той х до 0.

 – это рас­сто­я­ние от точки с ко­ор­ди­на­той х -3 до 0, т. е. это рас­сто­я­ние от точки х до 3.

 – это рас­сто­я­ние от точки х до -3

 Линейное неравенство, осложненное наличием модуля. |х - 2| < 3; |х - 2| ≥ 3. Два способа решения

 1 спо­соб. При­ме­ним общий приём осво­бож­де­ния от мо­ду­ля на ос­но­ве его опре­де­ле­ния.

Чтобы осво­бо­дить­ся от мо­ду­ля, нужно рас­смот­реть два слу­чая.

Слу­чай 2

Если под мо­ду­лем стоит неот­ри­ца­тель­ное число, то мо­дуль можно про­сто от­бро­сить.

 

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

[2;5) (рис. 4)

Слу­чай 2

Если под мо­ду­лем стоит число от­ри­ца­тель­ное, то нужно от­бро­сить мо­дуль, по­ста­вить знак минус перед всем под­мо­дуль­ным вы­ра­же­ни­ем.

 

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

(-1;2) (рис. 5)

Ре­ше­ние пер­вой си­сте­мы и ре­ше­ние вто­рой си­сте­мы нужно объ­еди­нить.

 

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

-1 < х <-5

 (-1; 5) (рис. 6)

2 спо­соб. Ис­поль­зу­ем гео­мет­ри­че­ский смысл мо­ду­ля.

Что такое мо­дуль х-2? Это рас­сто­я­ние между точ­ка­ми с ко­ор­ди­на­та­ми х и 2. Со­глас­но усло­вию нера­вен­ства, это рас­сто­я­ние не долж­но пре­вы­шать 3 (рис. 7).

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

По­ста­вим на чис­ло­вой оси точку 2. От­сту­пим от нее на 3 впра­во и влево по оси. Спра­ва по­лу­чим точку 2 + 3 = 5; слева точку 2 - 3 = -1

Итак, гео­мет­ри­че­ский смысл нера­вен­ства: найти те зна­че­ния х, ко­то­рые от­сто­ят от 2 не боль­ше, чем на 3. То есть, можно за­пи­сать 

-3+2 < х <3+2

-1 < х < 5

Решим двой­ное нера­вен­ство. Пе­ре­не­сем «-2» с про­ти­во­по­лож­ным зна­ком впра­во и влево.

Решим про­ти­во­по­лож­ную за­да­чу.

Что такое мо­дуль х-2? Это рас­сто­я­ние между точ­ка­ми с ко­ор­ди­на­та­ми х и 2. Со­глас­но усло­вию нера­вен­ства, это рас­сто­я­ние долж­но пре­вы­шать 3 или быть равно 3.

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

По­ста­вим на чис­ло­вой оси точку 2. От­ло­жим 3 в одну сто­ро­ну и 3 в дру­гую сто­ро­ну. Где же те зна­че­ния х, ко­то­рые от­сто­ят от 2 на рас­сто­я­ние 3 или далее?

На рас­сто­я­нии 3 на­хо­дят­ся точки -1 и 5. На боль­шем рас­сто­я­нии на­хо­дят­ся точки левее -1 и пра­вее 5 (рис. 8).

Итак, ответ: .

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-algebry-9go-klassa/lineynye-neravenstva-i-ih-sistemy-modul?konspekt&chapter_id=41

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=DNG-BwsJmvk

Файлы

Нет дополнительных материалов для этого занятия.