9 класс. Алгебра. Системы уравнений.
9 класс. Алгебра. Системы уравнений.
Комментарии преподавателя
На этом уроке мы будем рассматривать решение систем двух уравнений с двумя переменными. Вначале рассмотрим графическое решение системы двух линейных уравнений, специфику совокупности их графиков. Далее решим несколько систем графическим методом.
Тема: Системы уравнений
Урок: Графический метод решения системы уравнений
1. Тема урока, основные определения
Рассмотрим систему 
Пару чисел 
которая одновременно является решением и первого и второго уравнения системы, называют решением системы уравнений.
Решить систему уравнений – это значит найти все её решения, или установить, что решений нет. Мы рассмотрели графики основных уравнений, перейдем к рассмотрению систем.
2. Решение линейной системы уравнений
Пример 1. Решить систему 
Решение: 
Это линейные уравнения, графиком каждого из них является прямая. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0). Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это и есть решение системы уравнений (Рис. 1).
Решением системы является пара чисел 
Подставив эту пару чисел в каждое уравнение, получим верное равенство.
Мы получили единственное решение линейной системы.
Ответ: 
Вспомним, что при решении линейной системы возможны следующие случаи:
cистема имеет единственное решение – прямые пересекаются,
система не имеет решений – прямые параллельны,
система имеет бесчисленное множество решений – прямые совпадают.
Мы рассмотрели частный случай системы, когда p(x; y) и q(x; y) – линейные выражения от x и y.
3. Решение нелинейных систем уравнений
Пример 2. Решить систему уравнений 
Решение: 
График первого уравнения – прямая, график второго уравнения – окружность. Построим первый график по точкам (Рис. 2).
|
x |
0 |
-1 |
|
y |
1 |
0 |
Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.
Графики пересекаются в т. А(0; 1) и т. В(-1; 0).
Ответ: 
Пример 3. Решить систему графически 
Решение: Построим график первого уравнения – это окружность с центром в т.О(0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения – парабола. Она сдвинута относительно начала координат на 2 вверх, т.е. ее вершина – точка (0; 2) (Рис. 3).
Графики имеют одну общую точку – т. А(0; 2). Она и является решением системы. Подставим пару чисел в уравнение, чтобы проверить правильность.
Ответ: 
Пример 4. Решить систему 
Решение: Построим график первого уравнения – это окружность с центром в т.О(0; 0) и радиусом 1 (Рис. 4).
Построим график функции 
Это ломаная (Рис. 5).
Теперь сдвинем ее на 1 вниз по оси oy. Это и будет график функции 
Поместим оба графика в одну систему координат (Рис. 6).
Получаем три точки пересечения – т. А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1).
Ответ: 
4. Заключение, вывод
Мы рассмотрели графический метод решения систем. Если можно построить график каждого уравнения и найти координаты точек пересечения, то этого метода вполне достаточно.
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/sistemy-uravneniy/graficheskiy-metod-resheniya-sistemy-uravneniy?konspekt&chapter_id=26
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=g5zEQb2zM2c