9 класс. Алгебра. Определение числовой функции. Способы задания функций.
9 класс. Алгебра. Определение числовой функции. Способы задания функций.
Комментарии преподавателя
На этом уроке мы рассмотрим основные понятия и разъясняющие примеры по теме «Числовая функция». Здесь мы рассмотрим, что такое функция и ее область определения и область значений. Приведем примеры функций и решим некоторые задачи, в частности, прямую и обратную задачи для функции.
Тема: Числовые функции
Урок: Основные понятия; разъясняющие примеры
1. Введение. Основные определения
Функцией называется закон 
, по которому каждому элементу 
ставится в соответствие единственный элемент 
.
Обозначения: 
Примеры функций:
1. 
(график функции – парабола);
2. 
(функция обратная пропорциональность, график функции – гипербола);
3. 
(линейная функция, график функции – прямая);
4. 
(квадратичная функция, график функции – парабола);
5. 
(график функции – ветвь параболы);
6. 
.
Рис. 1. График функции 
.
Функций много, но все задаются по правилу: каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент .
Например, для функции при 
.
2. Область определения функции
Понятие функции является важнейшим в математике. Важны все элементы, задающие функцию.
Множество всех допустимых значений аргумента 
называется областью определения функции и обозначается 
.
В случае, когда 
, функцию называют числовой.
Рассмотрим несколько примеров на нахождение естественной области определения функции (так говорят, если множество 
не задано).
1. . Ответ: 
.
2. 
. Ответ: 
, т.к. нельзя делить на 0.
3. . Ответ: 
, т.к. нельзя извлекать квадратный корень из отрицательных чисел.
4. 
. Ответ: 
.
5. 
. Ответ: 
.
6. 
. Ответ: 
.
Область определения функции – важнейший элемент функции. Если при задании функции множество не задано, то область определения считается естественной, т.е. совпадающей с областью определения выражения 
.
Примеры.
1. Найти область определения и построить график функции .
Ответ: 
(естественная область определения).
Графиком функции является парабола (см. Рис.1).
2. Найти область определения и построить график функции 
.
Ответ: 
.
Графиком функции является часть параболы (см. Рис.2).
Рис. 2. График функции .
Область определения всегда присутствует при задании функции: то ли в явном виде, то ли считается естественной областью определения.
3. Область значений функции
При изменении аргумента из области определения функции значения функции меняются на своем множестве.
Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции, которая обозначается 
.
Рассмотрим несколько примеров на нахождение области значений функции.
1. , ; 
. Ответ: 
. См. Рис. 1.
2. , 
; 
. Ответ: 
. См. Рис. 2.
Рис. 3.
4. Разъяснение определения функции
Закон, который задает функцию, должен удовлетворять требованию однозначного соответствия и . Объясним это требование на примере.
1. Является ли окружность 
графиком какой-либо функции?
Объяснение: нет, т.к. не каждому соответствует единственное значение (например, 
соответствуют два разных значения 
). См. Рис.4. Окружность не является графиком функции, это график уравнения.
Рис. 4. График окружности .
Рис. 5. График функции 
.
2. Является ли верхняя полуокружность графиком какой-либо функции?
Объяснение: да, т.к. каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции (например, соответствует единственное значение 
). См. Рис.5. Закон, который определяет данную функцию, следующий: .
5. Геометрический смысл области определения и области значений функции
См. Рис.6.
– проекция графика функции 
на ось ОХ является областью определения функции.
– проекция графика функции на ось ОY является областью значений функции.
Для функции : 
,
.
Геометрический смысл области определения и области значений функции.
Рис. 6. График функции 
6. Решение типовых задач
К типовым относятся следующие задачи:
- нахождение области определения функции;
- нахождение области значений функции;
- нахождение значения функции по заданному значению аргумента (прямая задача);
- нахождение значения аргумента по заданному значению функции (обратная задача).
1. Для заданной функции найти:
а. , если 
; б. , если 
.
Решение. а. 
т.к. 
.
б. 
, т.к. 
. См. Рис. 6.
Рис. 7. Область определения и область значений функции 
2. Для заданной функции 
найти область определения и область значений.
Решение: 
, следовательно, 
. Область определения задана явно.
, следовательно, 
(см. Рис.7).
вет: 
.
5. Решение задач на нахождение области определения и области значений функции
1. Дана функция 
. Найдите область определения и область значений заданной функции.
Решение. Поскольку выражение 
имеет смысл при всех значениях переменной 
, то 
.
Т.к. 
, то 
. См. Рис. 4.
Ответ: 
.
Рис. 4. График функции 
.
1. Дана функция . Найдите множество всех значений параметра 
,
при каждом из которых уравнение 
имеет
а. Хотя бы одно решение;
б. Одно решение;
в. Два различных решения.
Решение.
Задача решается графически (см. Рис. 5) и учитывается условие: 
.
Ответ:а. 
или 
;
б. 
;
в. 
.
Рис. 5. График функции .
3. Дана функция 
. Найдите область определения и область значений заданной функции.
Решение. См. Рис. 6.
Рассмотрим функцию 
. Условие существования квадратного корня: 
. Следовательно,
.
С другой стороны, 
, откуда следует, что 
.
Ответ: 
Рис. 6. График функции 
.
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/osnovnye-ponyatiya-raz-yasnyayuschie-primery?konspekt&chapter_id=34
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/nahozhdenie-oblasti-opredeleniya-i-oblasti-znacheniy-chislovoy-funktsii?trainers&chapter_id=34
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=gkgbYNiGVfM