9 класс. Алгебра. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности.

Комментарии преподавателя

 

Тема урока: «Комбинаторные задачи». Человеку часто приходится сталкиваться с задачами, когда ему нужно посчитать число способов реализации некоторого действия. Например: вы забыли пароль на вашем компьютере, сколько вариантов вам придется перебрать, прежде чем вы сможете восстановить доступ? На данном уроке рассматривается раздел математики, который позволяет ответить на вопросы: сколькими способами, сколько вариантов и так далее. Этот раздел носит имя «комбинаторика».

 

 Пример об автомобильных номерах

Для на­ча­ла рас­смот­рим про­стой при­мер. Пусть в неко­то­ром ре­ги­оне ре­ши­ли вве­сти фор­мат но­ме­ра ав­то­мо­би­ля в виде числа. Во­прос: какое ко­ли­че­ство ав­то­мо­би­лей мы смо­жем снаб­дить раз­лич­ны­ми но­ме­ра­ми? Вни­ма­тель­ный уча­щий­ся сразу за­ме­тит непол­но­ту фор­му­ли­ров­ки за­да­чи, не прав­да ли? И дей­стви­тель­но, во-пер­вых, не ука­за­но, какое ко­ли­че­ство зна­ков долж­но на­хо­дить­ся в но­ме­ре ав­то­мо­би­ля, во-вто­рых, какие зна­че­ния могут при­ни­мать от­дель­ные цифры та­ко­го но­ме­ра. Ну и ко­неч­но, как при­ня­то при ре­ше­нии по­доб­ных задач, нач­нем мы ре­ше­ние с рас­смот­ре­ния самых про­стых слу­ча­ев.

Пусть при­ня­ты толь­ко трех­знач­ные но­ме­ра, при­чем фор­ми­ру­ют­ся они толь­ко циф­ра­ми 1, 2 и 3. Также вво­дит­ся несколь­ко нестан­дарт­ное тре­бо­ва­ние: пусть одна и та же цифра в но­ме­ре будет встре­чать­ся не более од­но­го раза. Это нужно для упро­ще­ния ре­ше­ния. В этом слу­чае от­ве­тить на во­прос за­да­чи со­всем про­сто. Нужно пе­ре­чис­лить все воз­мож­ные ком­би­на­ции из трех цифр. Вот они: , , , , , .

Всего 6 штук. Со­гла­си­тесь, ма­ло­ва­то для ав­то­мо­биль­ных но­ме­ров. Да­вай­те те­перь будем ну­ме­ро­вать ма­ши­ны че­ты­рех­знач­ны­ми чис­ла­ми. При­чем каж­дая цифра числа будет ме­нять­ся в диа­па­зоне от од­но­го до че­ты­рех. Также со­хра­ним тре­бо­ва­ние к од­но­крат­но­му при­сут­ствию каж­дой цифры в но­ме­ре. Здесь пе­ре­би­рать но­ме­ра вруч­ную уже за­мет­но тя­же­лее, если не ве­ри­те, убе­ди­тесь са­мо­сто­я­тель­но. А пока вос­поль­зу­ем­ся сле­ду­ю­щим при­е­мом:

пер­вая цифра но­ме­ра – 4 зна­че­ния;

вто­рая – 3 зна­че­ния;

тре­тья – 2 зна­че­ния.

У по­след­ней цифры оста­ет­ся толь­ко одна воз­мож­ность. Тогда общее ко­ли­че­ство ва­ри­ан­тов равно про­из­ве­де­нию . Этот пе­ре­бор можно про­ил­лю­стри­ро­вать при по­мо­щи так на­зы­ва­е­мо­го де­ре­ва воз­мож­ных ва­ри­ан­тов (Рис. 1.). Но­ме­ра машин можно по­лу­чить, если про­чи­тать каж­дую ветку дан­ной схемы свер­ху вниз.

Рис. 1. Де­ре­во ва­ри­ан­тов ав­то­мо­биль­ных но­ме­ров

24 – это уже зна­чи­тель­но лучше, чем 6, од­на­ко все равно нам этого мало. В преды­ду­щем при­ме­ре мы вос­поль­зо­ва­лись так на­зы­ва­е­мым пра­ви­лом умно­же­ния.

 Правило умножения

Если, неза­ви­си­мо друг от друга, эле­мент  можно вы­брать  спо­со­ба­ми, эле­мент  –  спо­со­ба­ми и так далее, то ком­би­на­цию  можно вы­брать  спо­со­ба­ми.

б.

 Задача 

У ма­сте­ра есть 4 по­лос­ки ткани: крас­ная, синяя, зе­ле­ная и белая. Ма­стер хочет сшить трех­по­лос­ный флаг (по­ло­сы – го­ри­зон­таль­ные). Сколь­ко у него есть спо­со­бов это сде­лать (пред­по­ла­га­ет­ся, что крас­ный – синий – белый и белый – синий – крас­ный – раз­ные флаги)?

Ре­ше­ние

В ка­че­стве пер­вой по­лос­ки – 4 ва­ри­ан­та. Для каж­до­го из них вы­брать вто­рую по­лос­ку – 3 ва­ри­ан­та. Тре­тья по­лос­ка – 2 ва­ри­ан­та.

Итого 24.

 

 Задача 

Сколь­ко су­ще­ству­ет трех­знач­ных чисел, ко­то­рые со­став­ле­ны из чет­ных раз­лич­ных цифр?

Ре­ше­ние

Всего чет­ных цифр 5 – 0, 2, 4, 6, 8.

На пер­вое место 4 ва­ри­ан­та (кроме 0). На вто­рое – также 4 (по­дой­дет любая цифра, кроме пер­вой). На тре­тье – уже три (все, кроме пер­вой и вто­рой). Итого:

Ответ: 48 чисел.

 Задача 

Сколь­ко диа­го­на­лей у вы­пук­ло­го два­дца­ти­уголь­ни­ка?

Ре­ше­ние

На­пом­ним: диа­го­наль – это от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий две несо­сед­ние вер­ши­ны мно­го­уголь­ни­ка.

Рас­смот­рим про­из­воль­ную вер­ши­ну. Сколь­ко диа­го­на­лей можно про­ве­сти из нее?

Оче­вид­но, 17: во все вер­ши­ны, кроме самой себя и двух со­сед­них. Всего вер­шин 20, зна­чит, диа­го­на­лей будет . Все? Увы, нет.

За­ме­тим, что каж­дую диа­го­наль мы по­счи­та­ли два раза! Если рас­смот­реть диа­го­наль, то мы ее счи­та­ем два раза, когда рас­смат­ри­ва­ли каж­дую из точек. Зна­чит, надо по­де­лить най­ден­ное ко­ли­че­ство на 2. Итого, ответ:

Эту фор­му­лу можно обоб­щить и для про­из­воль­но­го -уголь­ни­ка: .

Ответ: 170 диа­го­на­лей.

 

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/elementy-kombinatoriki-statistiki-i-teorii-veroyatnosti/kombinatornye-zadachi?konspekt&chapter_id=2214

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/elementy-kombinatoriki-statistiki-i-teorii-veroyatnosti/reshenie-razlichnyh-zadach-po-kombinatorike?konspekt&chapter_id=2214

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=ZbU69bku16U

Файлы