9 класс. Алгебра. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности.

Комментарии преподавателя

 

 Случайное событие (продолжение), несовместимые и противоположные события

Два слу­чай­ных со­бы­тия на­зы­ва­ют­ся несов­ме­сти­мы­ми, если на­ступ­ле­ние од­но­го из них ис­клю­ча­ет воз­мож­ность на­ступ­ле­ние дру­го­го.

На­при­мер, при еди­нич­ном под­бра­сы­ва­нии мо­не­ты слу­чай­ное со­бы­тие «вы­па­де­ние орла» пол­но­стью ис­клю­ча­ет слу­чай­ное со­бы­тие «вы­па­де­ние решки», то есть эти со­бы­тия несов­мест­ны. Дру­гой при­мер: при бро­са­нии иг­раль­ной кости со­бы­тие «вы­па­де­ние од­но­го очка» пол­но­стью ис­клю­ча­ет со­бы­тие «вы­па­де­ние шести очков», эти два со­бы­тия также несов­мест­ны. Про­ти­во­по­лож­ный при­мер: если бро­са­ют две иг­раль­ные кости, то слу­чай­ное со­бы­тие, со­сто­я­щее в сле­ду­ю­щем «вы­па­де­ние трех очков на пер­вой кости», и слу­чай­ное со­бы­тие «вы­па­де­ние пяти очков на вто­рой иг­раль­ной кости», не ис­клю­ча­ют друг друга, такие со­бы­тия яв­ля­ют­ся сов­мест­ны­ми.

Со­бы­тие  на­зы­ва­ют про­ти­во­по­лож­ным со­бы­тию , если со­бы­тие  на­сту­па­ет тогда и толь­ко тогда, когде не на­сту­па­ет со­бя­тие .

При­ме­ры прак­ти­че­ски те же: вы­па­де­ние орла и решки – это про­ти­во­по­лож­ные со­бы­тия. При под­бра­сы­ва­нии иг­раль­ных кости вы­па­де­ние чет­но­го и нечет­но­го ко­ли­че­ства очков – также со­бы­тия про­ти­во­по­лож­ные. При стрель­бе по ми­ше­ням по­па­да­ние в цель и про­мах – про­ти­во­по­лож­ные со­бы­тия.

Обо­зна­че­ние:  – со­бы­тие, про­ти­во­по­лож­ное со­бы­тию .

За­да­ние для са­мо­сто­я­тель­но­го вы­пол­не­ния: до­ка­зать, что про­ти­во­по­лож­ные со­бы­тия яв­ля­ют­ся част­ным слу­ча­ем несов­мест­ных со­бы­тий.

Ве­ро­ят­но­сти про­ти­во­по­лож­ных со­бы­тий свя­за­ны одним свой­ством. Оно поз­во­ля­ет вы­чис­лять ве­ро­ят­ность со­бы­тия , если из­вест­на ве­ро­ят­ность со­бы­тия , то есть про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тию .

 Теорема 1, пример

Сумма ве­ро­ят­но­стей про­ти­во­по­лож­ных со­бы­тий равна 1.

Эта тео­ре­ма об­ла­да­ет хо­ро­шим прак­ти­че­ским при­ло­же­ни­ем, с ее по­мо­щью можно вы­чис­лять ве­ро­ят­но­сти со­бы­тий в том слу­чае, когда ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия под­счи­тать го­раз­до легче, чем ве­ро­ят­ность са­мо­го со­бы­тия.

При­мер 1

Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что при трёх по­сле­до­ва­тель­ных брос­ках иг­раль­ной кости хотя бы один раз вы­па­дет 6 очков?

Ре­ше­ние

При одном бро­са­нии ку­би­ка рав­но­воз­мож­но вы­па­де­ние од­но­го, двух, трёх, че­ты­рёх, пяти или шести очков. При вто­ром бро­са­нии, вне за­ви­си­мо­сти от преды­ду­ще­го брос­ка, воз­мож­ны те же ре­зуль­та­ты, для тре­тье­го брос­ка – то же самое.

При каж­дом брос­ке воз­мож­но вы­па­де­ние од­но­го из шести зна­че­ний. По пра­ви­лу умно­же­ния, общее ко­ли­че­ство воз­мож­ных ис­хо­дов со­бы­тия  ис­хо­дов.

Со­бы­тие  – вы­па­де­ние хотя бы одной ше­стер­ки.

Про­ти­во­по­лож­ное со­бы­тие  – ше­стер­ка не вы­па­дет ни од­но­го раза. При этом на ку­би­ке при каж­дом брос­ке вы­па­дет два, три, че­ты­ре либо пять очков. Если еще раз при­ме­нить пра­ви­ло умно­же­ния, то по­лу­ча­ем: ко­ли­че­ство бла­го­при­ят­ству­ю­щих ис­хо­дов для про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия  воз­мож­ных эле­мен­тар­ных ис­хо­дов.

Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность со­бы­тия , то есть ве­ро­ят­ность того, что ше­стер­ка не вы­па­дет ни разу, равна:

Сразу же можно найти ве­ро­ят­ность ис­ход­но­го со­бы­тия , так как со­бы­тия  и  – про­ти­во­по­лож­ные.

 

 Другой способ решения задачи

Рас­смот­рим ре­ше­ние этой же за­да­чи на­пря­мую, без при­ме­не­ния тео­ре­мы о сло­же­нии ве­ро­ят­но­стей.

При­ме­ним тот же спо­соб, ко­то­рый ис­поль­зо­вал­ся в за­да­че о трое­крат­ном под­бра­сы­ва­нии мо­не­ты. Раз­ни­ца со­сто­ит лишь в том, что число эле­мен­тар­ных ис­хо­дов на каж­дом шаге равно шести, а не двум.

На ри­сун­ке (Рис. 9) можно уви­деть де­ре­во ва­ри­ан­тов для этой за­да­чи. Из всех воз­мож­ных 216 ко­неч­ных ис­хо­дов нуж­ный исход по­яв­ля­ет­ся в 91 слу­чае.

Рис. 9. Де­ре­во ва­ри­ан­тов для трех брос­ков кости

Срав­нив дан­ный спо­соб ре­ше­ния с тем, ко­то­рый был при­ве­ден выше, ясно, что го­раз­до проще под­счи­тать ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия, то есть ве­ро­ят­ность невы­па­де­ния ше­стер­ки, чем ри­со­вать такую слож­ную дре­во­вид­ную схему.

Можно с уве­рен­но­стью утвер­ждать, что любой дру­гой пря­мой спо­соб под­сче­та ве­ро­ят­но­сти вы­па­де­ния ше­стер­ки все равно будет го­раз­до слож­нее, чем под­счет ве­ро­ят­но­сти невы­па­де­ния ше­стер­ки.

Ранее на уроке были рас­смот­ре­ны самые рас­про­стра­нен­ные, клас­си­че­ские, при­ме­ры на под­счет ве­ро­ят­но­сти, а далее мы рас­смот­рим менее рас­про­стра­нен­ные, но не менее ин­те­рес­ные при­ме­ры, в ко­то­рых рас­ска­зы­ва­ет­ся о том, как под­счи­ты­вать так на­зы­ва­е­мые гео­мет­ри­че­ские ве­ро­ят­но­сти.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/elementy-kombinatoriki-statistiki-i-teorii-veroyatnosti/prosteyshie-veroyatnostnye-zadachi?konspekt&chapter_id=2214

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=8na6RMlX6tw

Файлы