9 класс. Алгебра. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности.

Комментарии преподавателя

На сегодняшнем уроке речь пойдет о вероятности. Вероятность относится к числу понятий, которые мы охотно используем в нашей повседневной жизни, зачастую даже сами не догадываясь об этом. Даже наша речь носит на себе отпечаток вероятностного подхода к явлениям окружающей действительности. Иногда можно услышать такие фразы: «Вероятно, завтра пойдет дождь» или «Маловероятно, что тебе удастся купить выигрышный лотерейный билет». Уже в этих коротких репликах присутствуют слова «вероятно», «маловероятно», то есть попытка оценить возможность присутствия того или иного события. Человек постоянно стремится делать прогнозы как о себе, так и об окружающем мире. Такие прогнозы требуют для своего осуществления обязательного умения подсчитывать вероятность того или иного события. Начнем изучение данной темы с простейших задач, которые уже на начальном этапе помогут нам разобраться в том, что же такое вероятность и как ее рассчитывать.

 

 

 Достоверное событие, невозможное событие

В окру­жа­ю­щем нас мире можно на­блю­дать раз­лич­ные яв­ле­ния, мы будем при­ме­нять тер­мин «со­бы­тие», ко­то­рые обя­за­тель­но про­изой­дут при некой со­во­куп­но­сти усло­вий, такие со­бы­тия на­зы­ва­ют­ся до­сто­вер­ны­ми.

До­сто­вер­ное со­бы­тие – это такое со­бы­тие, ко­то­рое обя­за­тель­но про­изой­дет при­со­блю­де­нии опре­де­лен­ных усло­вий.

На­при­мер, если под­бро­сить мо­не­ту, то она через неко­то­рое время обя­за­тель­но упа­дет на стол или на любую дру­гую из окру­жа­ю­щих по­верх­но­стей. Это при­мер до­сто­вер­но­го со­бы­тия.

Невоз­мож­ное со­бы­тие

С дру­гой сто­ро­ны, су­ще­ству­ют невоз­мож­ные со­бы­тия – это те со­бы­тия, ко­то­рые не про­изой­дут ни при каких усло­ви­ях.

При­мер невоз­мож­но­го со­бы­тия: при под­бра­сы­ва­нии мо­не­ты она не упа­дет ни на одну из окру­жа­ю­щих по­верх­но­стей.

Оба при­ве­ден­ных при­ме­ра поз­во­ля­ют од­но­знач­но пред­ска­зать про­изой­дет дан­ное со­бы­тие либо не про­изой­дет. Тем не менее такое пред­ска­за­ние носит всего лишь ка­че­ствен­ный ха­рак­тер, по­то­му что не при­во­дит­ся ни­ка­ких чис­лен­ных оце­нок или ко­ли­че­ствен­ных рас­че­тов для того, чтобы сде­лать такое пред­ска­за­ние. Идея о том, что воз­мож­ность на­ступ­ле­ния того или иного со­бы­тия можно вы­ра­зить чис­лом, по­яви­лась у людей после того, как на­блю­да­лось мно­же­ство яв­ле­ний, в ко­то­рых при со­блю­де­нии одних и тех же усло­вий ка­кое-ли­бо со­бы­тие то на­сту­па­ло, то не на­сту­па­ло.

 Пример с табличками «С», «О», «К»

На­при­мер, у нас в рас­по­ря­же­нии име­ют­ся три таб­лич­ки с на­ри­со­ван­ны­ми на них бук­ва­ми «С», «О», «К». Из этих трех букв можно со­ста­вить шесть раз­ных ком­би­на­ций.

«К», «О», «С»	«С», «К», «О»	«О», «К», «С»
«С», «О», «К»	«О», «С», «К»	«К», «С», «О»

Рас­по­ло­жим таб­лич­ки слу­чай­ным об­ра­зом вза­кры­тую. Слу­чай­но по­лу­чим ком­би­на­цию «С», «О», «К». Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что рас­по­ло­жен­ные слу­чай­ным об­ра­зом буквы об­ра­зу­ют слово «сок»? Если взгля­нуть на вы­пи­сан­ные ком­би­на­ции таб­ли­чек, видно, что одна из шести ком­би­на­ций об­ра­зу­ет слово «сок». Таким об­ра­зом, из об­ще­го числа ком­би­на­ций букв слово «сок» со­став­ля­ет  часть.

По­лу­чен­ное число  – это ве­ро­ят­ность того, что рас­по­ло­жен­ные вот так в слу­чай­ном по­ряд­ке буквы об­ра­зу­ют нуж­ное слово. Опре­де­ле­ние по­ня­тия «ве­ро­ят­ность» пока не вве­де­но, од­на­ко, даже на этом про­стом при­ме­ре можем про­чув­ство­вать смысл этого по­ня­тия.

 Случайное событие, элементарный исход

При­мер с бук­ва­ми – это ис­кус­ствен­но со­здан­ная си­ту­а­ция. Од­на­ко в ре­аль­ной жизни мы по­сто­ян­но стал­ки­ва­ем­ся с тем, что неко­то­рые со­бы­тия при со­блю­де­нии опре­де­лен­ных усло­вий могут про­изой­ти, а могут и не про­изой­ти, такие со­бы­тия на­зы­ва­ют­ся слу­чай­ны­ми. Тео­рия ве­ро­ят­но­стей как раз и за­ни­ма­ет­ся изу­че­ни­ем слу­чай­ных со­бы­тий, опи­са­ни­ем их свойств и ха­рак­те­ри­стик. В преды­ду­щем при­ме­ре слу­чай­ным со­бы­ти­ем яв­ля­ет­ся вы­па­де­ние слова «сок» при слу­чай­ном рас­по­ло­же­нии трех букв.

Под сло­ва­ми «будут со­блю­де­ны опре­де­лен­ные усло­вия» под­ра­зу­ме­ва­ет­ся, на­при­мер, в экс­пе­ри­мен­те с мо­не­той, во-пер­вых, под­бра­сы­ва­ние мо­не­ты, во-вто­рых, на­ли­чие зем­но­го тя­го­те­ния, и, в-тре­тьих, на­ли­чие по­верх­но­сти, на ко­то­рую мо­не­та может упасть.

Для крат­ко­сти всю эту со­во­куп­ность усло­вий будет на­зы­вать ис­пы­та­ни­ем или опы­том.

За­да­ча о мо­не­те

Из­ме­ним усло­вие за­да­чи. Будем го­во­рить не о том, упа­дет ли мо­не­та во­об­ще, а будем го­во­рить о том, какая из ее сто­рон вы­па­дет. В этом слу­чае мы имеем дело с клас­си­че­ским при­ме­ром слу­чай­но­го со­бы­тия. Итак, под­бра­сы­ва­ние мо­не­ты – это ис­пы­та­ние, а вы­па­де­ние, на­при­мер, орла – слу­чай­ное со­бы­тие.

Эле­мен­тар­ный исход – каж­дый из воз­мож­ных ис­хо­дов со­бы­тия.

В при­ме­ре с мо­не­той имеем два эле­мен­тар­ных ис­хо­да: вы­па­де­ние орла и вы­па­де­ние решки. Ни­ка­ких дру­гих воз­мож­но­стей рас­смат­ри­вать не будем, то есть мы не учи­ты­ва­ем то, что мо­не­та может упасть на ребро, при­сло­нить­ся к стен­ке и т. д. При этом оба эле­мен­тар­ных ис­хо­да будем на­зы­вать рав­но­воз­мож­ны­ми, или рав­но­прав­ны­ми, то есть будем счи­тать, что при одном брос­ке име­ют­ся оди­на­ко­вые шансы по­лу­чить на вы­хо­де орла или решку.

Исход на­зы­ва­ет­ся бла­го­при­ят­ству­ю­щим дан­но­му со­бы­тию, если в ре­зуль­та­те этого ис­хо­да со­бы­тие на­сту­па­ет.

В при­ме­ре с мо­не­той имеем дело с двумя слу­чай­ны­ми со­бы­ти­я­ми (вы­па­де­ние орла и вы­па­де­ние решки), для ко­то­рых опре­де­ле­но по од­но­му од­но­имен­но­му бла­го­при­ят­ству­ю­ще­му ис­хо­ду.

Для того чтобы из­бе­жать тер­ми­но­ло­ги­че­ской пу­та­ни­цы, еще раз оста­но­вим­ся на усло­вии за­да­чи. Имеем дело с двумя эле­мен­тар­ны­ми со­бы­ти­я­ми, для каж­до­го из ко­то­рых опре­де­лен бла­го­при­ят­ству­ю­щий исход.

Со­бы­тие 1: вы­па­де­ние орла (Рис. 1).

Бла­го­при­ят­ству­ю­щий исход: вы­па­де­ние орла.

 

Рис. 1. Орел

Со­бы­тие 2: вы­па­де­ние решки (Рис. 2).

Бла­го­при­ят­ству­ю­щий исход: вы­па­де­ние решки.

Рис. 2. Решка

Обо­зна­че­ния в за­да­чах

 и т. д. (за­глав­ные ла­тин­ские) – слу­чай­ные со­бы­тия.

Пусть со­бы­тие  – вы­па­де­ние орла, а со­бы­тие  – вы­па­де­ние решки.

 – (строч­ные ла­тин­ские) – ко­ли­че­ство эле­мен­тар­ных ис­хо­дов.

 Общее понятие вероятности, классическое определение

Пусть у неко­то­ро­го ис­пы­та­ния име­ет­ся всего  рав­но­воз­мож­ных эле­мен­тар­ных ис­хо­дов. Среди них ровно  ис­хо­дов яв­ля­ют­ся бла­го­при­ят­ству­ю­щи­ми для неко­то­ро­го со­бы­тия . Тогда от­но­ше­ние  будет на­зы­вать­ся ве­ро­ят­но­стью со­бы­тия  при про­ве­де­нии дан­но­го ис­пы­та­ния. Обо­зна­ча­ет­ся эта ве­ро­ят­ность .

Клас­си­че­ское опре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­сти:

Ве­ро­ят­но­стью со­бы­тия  при про­ве­де­нии неко­то­ро­го ис­пы­та­ния на­зы­ва­ют от­но­ше­ние числа тех ис­хо­дов, в ре­зуль­та­те ко­то­рых на­сту­па­ет со­бы­тие , к об­ще­му числу всех рав­но­воз­мож­ных между собой ис­хо­дов этого ис­пы­та­ния.

Из опре­де­ле­ния видно, что:

· Чис­лен­ное зна­че­ние ве­ро­ят­но­сти все­гда лежит в про­ме­жут­ке  (по­то­му что как общее число ис­хо­дов, так и число бла­го­при­ят­ству­ю­щих ис­хо­дов не могут быть от­ри­ца­тель­ны­ми и число бла­го­при­ят­ству­ю­щих ис­хо­дов не может быть боль­ше об­ще­го числа ис­хо­дов).

·  Ве­ро­ят­ность равна нулю для невоз­мож­но­го со­бы­тия и ве­ро­ят­ность равна еди­ни­це для до­сто­вер­но­го со­бы­тия.

· Для всех осталь­ных, для слу­чай­ных со­бы­тий ве­ро­ят­ность боль­ше нуля и мень­ше еди­ни­цы.

При­ме­ним опре­де­ле­ние, дан­ное выше, к при­ме­ру с под­бра­сы­ва­ни­ем мо­не­ты.

Общее число эле­мен­тар­ных ис­хо­дов .

Ис­хо­дов бла­го­при­ят­ству­ю­щих со­бы­тию : , по­сколь­ку толь­ко в одном слу­чае из двух может вы­пасть орел. Таким об­ра­зом, .

Со­от­вет­ствен­но, .

За­да­ние для са­мо­сто­я­тель­но­го вы­пол­не­ния: в при­ме­ре с пе­ре­ста­нов­ка­ми трех букв, опи­ра­ясь на опре­де­ле­ние ве­ро­ят­но­сти, до­ка­жи­те, что дей­стви­тель­но в этой за­да­че ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но раз­ме­щен­ные буквы об­ра­зу­ют слово «сок», равна .

Рас­смот­рим ряд задач, ко­то­рые, как и за­да­ча с под­бра­сы­ва­ни­ем мо­не­ты, уже стали клас­си­че­ски­ми при изу­че­нии основ тео­рии ве­ро­ят­но­стей.

 Задача 1 (об игральной кости)

Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что при еди­нич­ном бро­са­нии иг­раль­ной кости вы­па­дет одно очко?

Со­бы­тие  – вы­па­де­ние 1.

 (число гра­ней, на ко­то­рых на­ри­со­ва­но одно очко).

Общее ко­ли­че­ство ис­хо­дов  (общее число гра­ней).

Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность .

Ответ: .

 Задача 2 (о шарах)

Име­ют­ся 5 чер­ных и 5 белых шаров. Все шары по­ме­ща­ют­ся в непро­зрач­ный ящик и пе­ре­ме­ши­ва­ют­ся. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что на­у­гад вы­ну­тый из ящика шар ока­жет­ся чер­ным?

Общее ко­ли­че­ство ис­хо­дов – это общее ко­ли­че­ство шаров, на­хо­дя­щих­ся в ящике. .

Со­бы­тие  – вы­ни­ма­ние чер­но­го шара.

Число эле­мен­тар­ных ис­хо­дов, бла­го­при­ят­ству­ю­щих со­бы­тию  равно числу чер­ных шаров в ящике: .

Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность .

Ответ: .

 Задача 3 (о лотерейных билетах)

Вы­пу­ще­но 50 000 ло­те­рей­ных би­ле­тов, среди ко­то­рых 100 яв­ля­ют­ся вы­иг­рыш­ны­ми. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ный билет ока­жет­ся вы­иг­рыш­ным?

Общее ко­ли­че­ство ис­хо­дов – это общее ко­ли­че­ство ло­те­рей­ных би­ле­тов .

Со­бы­тие  – по­куп­ка вы­иг­рыш­но­го ло­те­рей­но­го би­ле­та.

Число эле­мен­тар­ных ис­хо­дов, бла­го­при­ят­ству­ю­щих со­бы­тию  равно числу всех вы­иг­рыш­ных би­ле­тов .

Ис­ко­мая ве­ро­ят­ность .

Ответ: .

Во всех рас­смот­рен­ных при­ме­рах мы имели дело с ис­пы­та­ни­я­ми, со­сто­я­щи­ми из од­но­го акта. Рас­смот­рим более слож­ные за­да­чи, в ко­то­рых при­сут­ству­ют се­рий­ные ис­пы­та­ния.

 

 Случайное событие (продолжение), несовместимые и противоположные события

Два слу­чай­ных со­бы­тия на­зы­ва­ют­ся несов­ме­сти­мы­ми, если на­ступ­ле­ние од­но­го из них ис­клю­ча­ет воз­мож­ность на­ступ­ле­ние дру­го­го.

На­при­мер, при еди­нич­ном под­бра­сы­ва­нии мо­не­ты слу­чай­ное со­бы­тие «вы­па­де­ние орла» пол­но­стью ис­клю­ча­ет слу­чай­ное со­бы­тие «вы­па­де­ние решки», то есть эти со­бы­тия несов­мест­ны. Дру­гой при­мер: при бро­са­нии иг­раль­ной кости со­бы­тие «вы­па­де­ние од­но­го очка» пол­но­стью ис­клю­ча­ет со­бы­тие «вы­па­де­ние шести очков», эти два со­бы­тия также несов­мест­ны. Про­ти­во­по­лож­ный при­мер: если бро­са­ют две иг­раль­ные кости, то слу­чай­ное со­бы­тие, со­сто­я­щее в сле­ду­ю­щем «вы­па­де­ние трех очков на пер­вой кости», и слу­чай­ное со­бы­тие «вы­па­де­ние пяти очков на вто­рой иг­раль­ной кости», не ис­клю­ча­ют друг друга, такие со­бы­тия яв­ля­ют­ся сов­мест­ны­ми.

Со­бы­тие  на­зы­ва­ют про­ти­во­по­лож­ным со­бы­тию , если со­бы­тие  на­сту­па­ет тогда и толь­ко тогда, когде не на­сту­па­ет со­бя­тие .

При­ме­ры прак­ти­че­ски те же: вы­па­де­ние орла и решки – это про­ти­во­по­лож­ные со­бы­тия. При под­бра­сы­ва­нии иг­раль­ных кости вы­па­де­ние чет­но­го и нечет­но­го ко­ли­че­ства очков – также со­бы­тия про­ти­во­по­лож­ные. При стрель­бе по ми­ше­ням по­па­да­ние в цель и про­мах – про­ти­во­по­лож­ные со­бы­тия.

Обо­зна­че­ние:  – со­бы­тие, про­ти­во­по­лож­ное со­бы­тию .

За­да­ние для са­мо­сто­я­тель­но­го вы­пол­не­ния: до­ка­зать, что про­ти­во­по­лож­ные со­бы­тия яв­ля­ют­ся част­ным слу­ча­ем несов­мест­ных со­бы­тий.

Ве­ро­ят­но­сти про­ти­во­по­лож­ных со­бы­тий свя­за­ны одним свой­ством. Оно поз­во­ля­ет вы­чис­лять ве­ро­ят­ность со­бы­тия , если из­вест­на ве­ро­ят­ность со­бы­тия , то есть про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тию .

 Теорема 1, пример

Сумма ве­ро­ят­но­стей про­ти­во­по­лож­ных со­бы­тий равна 1.

Эта тео­ре­ма об­ла­да­ет хо­ро­шим прак­ти­че­ским при­ло­же­ни­ем, с ее по­мо­щью можно вы­чис­лять ве­ро­ят­но­сти со­бы­тий в том слу­чае, когда ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия под­счи­тать го­раз­до легче, чем ве­ро­ят­ность са­мо­го со­бы­тия.

При­мер 1

Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что при трёх по­сле­до­ва­тель­ных брос­ках иг­раль­ной кости хотя бы один раз вы­па­дет 6 очков?

Ре­ше­ние

При одном бро­са­нии ку­би­ка рав­но­воз­мож­но вы­па­де­ние од­но­го, двух, трёх, че­ты­рёх, пяти или шести очков. При вто­ром бро­са­нии, вне за­ви­си­мо­сти от преды­ду­ще­го брос­ка, воз­мож­ны те же ре­зуль­та­ты, для тре­тье­го брос­ка – то же самое.

При каж­дом брос­ке воз­мож­но вы­па­де­ние од­но­го из шести зна­че­ний. По пра­ви­лу умно­же­ния, общее ко­ли­че­ство воз­мож­ных ис­хо­дов со­бы­тия  ис­хо­дов.

Со­бы­тие  – вы­па­де­ние хотя бы одной ше­стер­ки.

Про­ти­во­по­лож­ное со­бы­тие  – ше­стер­ка не вы­па­дет ни од­но­го раза. При этом на ку­би­ке при каж­дом брос­ке вы­па­дет два, три, че­ты­ре либо пять очков. Если еще раз при­ме­нить пра­ви­ло умно­же­ния, то по­лу­ча­ем: ко­ли­че­ство бла­го­при­ят­ству­ю­щих ис­хо­дов для про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия  воз­мож­ных эле­мен­тар­ных ис­хо­дов.

Таким об­ра­зом, ве­ро­ят­ность со­бы­тия , то есть ве­ро­ят­ность того, что ше­стер­ка не вы­па­дет ни разу, равна:

Сразу же можно найти ве­ро­ят­ность ис­ход­но­го со­бы­тия , так как со­бы­тия  и  – про­ти­во­по­лож­ные.

 

 Другой способ решения задачи

Рас­смот­рим ре­ше­ние этой же за­да­чи на­пря­мую, без при­ме­не­ния тео­ре­мы о сло­же­нии ве­ро­ят­но­стей.

При­ме­ним тот же спо­соб, ко­то­рый ис­поль­зо­вал­ся в за­да­че о трое­крат­ном под­бра­сы­ва­нии мо­не­ты. Раз­ни­ца со­сто­ит лишь в том, что число эле­мен­тар­ных ис­хо­дов на каж­дом шаге равно шести, а не двум.

На ри­сун­ке (Рис. 9) можно уви­деть де­ре­во ва­ри­ан­тов для этой за­да­чи. Из всех воз­мож­ных 216 ко­неч­ных ис­хо­дов нуж­ный исход по­яв­ля­ет­ся в 91 слу­чае.

Рис. 9. Де­ре­во ва­ри­ан­тов для трех брос­ков кости

Срав­нив дан­ный спо­соб ре­ше­ния с тем, ко­то­рый был при­ве­ден выше, ясно, что го­раз­до проще под­счи­тать ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия, то есть ве­ро­ят­ность невы­па­де­ния ше­стер­ки, чем ри­со­вать такую слож­ную дре­во­вид­ную схему.

Можно с уве­рен­но­стью утвер­ждать, что любой дру­гой пря­мой спо­соб под­сче­та ве­ро­ят­но­сти вы­па­де­ния ше­стер­ки все равно будет го­раз­до слож­нее, чем под­счет ве­ро­ят­но­сти невы­па­де­ния ше­стер­ки.

Ранее на уроке были рас­смот­ре­ны самые рас­про­стра­нен­ные, клас­си­че­ские, при­ме­ры на под­счет ве­ро­ят­но­сти, а далее мы рас­смот­рим менее рас­про­стра­нен­ные, но не менее ин­те­рес­ные при­ме­ры, в ко­то­рых рас­ска­зы­ва­ет­ся о том, как под­счи­ты­вать так на­зы­ва­е­мые гео­мет­ри­че­ские ве­ро­ят­но­сти.

 Геометрическая вероятность

Слу­чай­ным об­ра­зом вы­би­ра­ет­ся одно из ре­ше­ний нера­вен­ства . Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что оно ока­жет­ся также ре­ше­ни­ем нера­вен­ства ?

Ре­ше­ние

Ре­ше­ни­ем пер­во­го нера­вен­ства  будет , на­не­сем его на чис­ло­вую пря­мую (Рис. 10).

Рис. 10. Гра­фи­че­ское ре­ше­ние пер­во­го нера­вен­ства

Ре­ше­ни­ем вто­ро­го нера­вен­ства  будет . На­не­сем по­лу­чен­ный про­ме­жу­ток на чис­ло­вую пря­мую (Рис. 11).

Рис. 11. Гра­фи­че­ское ре­ше­ние пер­во­го и вто­ро­го нера­венств

По­стро­им пе­ре­се­че­ние двух мно­жеств (Рис. 12). В пе­ре­се­че­нии по­лу­чит­ся от­ре­зок . Также изоб­ра­зим этот от­ре­зок на чис­ло­вой пря­мой.

Рис. 12. Пе­ре­се­че­ние ре­ше­ний пер­во­го и вто­ро­го нера­венств

На ри­сун­ке видно, что если вы­би­рать точки на от­рез­ке  аб­со­лют­но слу­чай­ным об­ра­зом, то число бла­го­при­ят­ству­ю­щих ис­хо­дов  про­пор­ци­о­наль­но длине ма­лень­ко­го от­рез­ка , имен­но тогда ре­ше­ния обоих нера­венств сов­па­дут.

Общее число эле­мен­тар­ных ис­хо­дов будет про­пор­ци­о­наль­но длине всего от­рез­ка .

Тогда от­но­ше­ние числа бла­го­при­ят­ству­ю­щих ис­хо­дов к об­ще­му числу будет равно от­но­ше­нию длин со­от­вет­ству­ю­щих от­рез­ков: .

Дан­ный при­мер де­мон­стри­ру­ет метод ре­ше­ния задач на поиск гео­мет­ри­че­ской ве­ро­ят­но­сти. Ти­пич­ное усло­вие такой за­да­чи со­сто­ит в том, чтобы найти ве­ро­ят­ность по­па­да­ния слу­чай­ным об­ра­зом вы­бран­ной точки в неко­то­рое под­мно­же­ство за­дан­но­го в усло­вии за­да­чи гео­мет­ри­че­ско­го места точек. Это могут быть од­но­мер­ные за­да­чи (ее при­мер рас­смот­рен выше), это могут быть также за­да­чи дву­мер­ные и трех­мер­ные.

В слу­чае од­но­мер­ной за­да­чи необ­хо­ди­мо найти от­но­ше­ние длин ка­ких-ли­бо от­рез­ков, за­дан­ных в усло­вии. В слу­чае дву­мер­ных задач нужно ис­кать от­но­ше­ние пло­ща­дей. На­при­мер, это может быть ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­ным об­ра­зом вы­бран­ная точка при­над­ле­жит ка­кой-ли­бо части квад­ра­та. Также могут быть за­да­чи трех­мер­ные. Тогда нужно ис­кать от­но­ше­ние объ­е­мов.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/elementy-kombinatoriki-statistiki-i-teorii-veroyatnosti/prosteyshie-veroyatnostnye-zadachi?konspekt&chapter_id=2214

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=HPaMEQxI61o

Файлы

Нет дополнительных материалов для этого занятия.