9 класс. Алгебра. Степенная функция.

Степенная функция с целым отрицательным показателем.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Степенная функция с целым отрицательным показателем.

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы начнем изучать степенную функцию с отрицательным показателем, изучим ее свойства и график.
Вначале рассмотрим функцию у=1/х2, рассмотрим ее график и исследуем ее свойства, сравним их со свойствами функции у=х2. Подробно рассмотрим ее асимптоты и интервалы знакопостоянства. И решим ряд задач на подобные функции, в том числе и задачи с параметром.
Далее сформулируем основные свойства для общего семейства функций вида у=х-2n и рассмотрим их взаимное расположение при различных n. И продолжим решение примеров на данную тему.

Тема: Числовые функции

Урок: Степенная функция её свойства и график

1. Введение

На этом уроке мы начнем рассматривать степенную функцию с отрицательным показателем.

2. График и свойства функции

Сначала мы познакомимся с функцией т.е. с функциями вида:

Рассмотрим график функции

Можно воспользоваться таблицей, а можно проанализировать уже известные нам графики (рис. 1,2).

Изучая графики функций можно себе представить, как будет выглядеть график функции (рис. 3).

Функция четная, поэтому мы можем изучить и изобразить график на луче и симметрично отобразить относительно оси y.

Если xвозрастает, то и возрастает, а убывает.

При функция не существует.

Прочтем график.

Если то у возрастает,

Если то у убывает,

1.

2. Функция четная, График симметричен относительно оси y.

3. Функция убывает на луче и возрастает на луче

4. Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

5. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

6. Функция непрерывна на луче и на луче

7.

8. Функция выпукла вниз на луче и на луче

Функция имеет асимптоты, рассмотрим их.

Асимптота – это такая прямая, к которой данная кривая неограниченно приближается.

При

Ось xявляется горизонтальной асимптотой, её уравнение .

При

Ось yявляется вертикальной асимптотой, ее уравнение .

Рассмотрим интервалы знакопостоянства функции (рис. 4).

На луче функция положительна, на луче функция положительна, и только при функция не существует.

Рассмотрим типовые неравенства.

3. Примеры

Свойства функции – ключ к решению многих задач.

1. Найти все значения параметра m, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы одно решение.

Решение:

Изобразим график функции , она определена при всех x кроме (рис. 5).

Это значит, что любое значение достигается хотя бы при одном значении аргумента.

Заметим, что если мы задаем то получаем два решения, .

2. Решить уравнение с параметром:

Решение:

Необходимо построить график функции пересечь его семейством прямых , найти точки пересечения и выписать ответ (рис. 5а).

Нет решений при

Два различных решения при

Мы подробно рассмотрели график и свойства функции Рассмотрим график и свойства подобных функций в общем виде.

4. График и свойства функции

Функция

Все эти функции проходят через фиксированные характерные точки (-1; 1) и (1; 1) (рис. 6).

Асимптоты: горизонтальная и вертикальная

Свойства функции:

2. Функция четная.

3. Убывает на луче и возрастает на луче

4. Ограничена снизу и не ограничена сверху.

5. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

6. Непрерывна на луче и на луче

8. Выпукла вниз на луче и на луче

Рассмотрим взаимное расположение кривых (рис. 7).

Обе кривые проходят через две фиксированные точки:

5. Примеры

1. Найдите область значений функции:

Решение:

Если , то y убывает,

Ответ:

Кривая сдвинута по оси xна три единицы вправо. Функциямонотонно возрастает при

Ответ:

На этом уроке мы будем рассматривать степенную функцию с нечетным отрицательным показателем, изучим ее свойства и график. Вначале рассмотрим построение графика на примере функции у=1/х3, рассмотрим ее свойства и сравним их со свойствами функции у=х3. Подробно рассмотрим ее некоторые ее свойства – асимптоты интервалы знакопостоянства. Сформулируем свойства для общего вида подобных функций. А также рассмотрим взаимное расположение кривых графиков функций при различных значениях n. В конце решим ряд задач на данные функции.

Тема:Числовые функции

Урок: Степенная функция её свойства и график

1. Введение

Мы рассмотрим степенную функцию с нечетным отрицательным показателем, изучим её свойства и график.

2. График и свойства функции

Рассмотрим функцию, опираясь на известный нам график (рис. 1).

Функция не определена в нуле.

Изобразим график, используя таблицу.

	1	2
	1		8

Прочтем полученный график.

Если то yубывает,

Свойства функции

2. Нечетная,

3. Убывает на луче и на луче

4. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

5. Не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

6. Непрерывна при и при .

8. Выпукла вверх при и выпукла вниз при

Функция имеет две асимптоты – оси x и y.

1. Пусть

Если

2. Пусть

Если

Рассмотрим интервалы знакопостоянства функции (рис. 2).

не имеет корней.

Рассмотрим сопутствующую задачу на область значений функции.

1. Найти все значения m, при каждом из которых уравнение имеет решение.

Решение:

Ответ:

3. График и свойства функции

Рассмотрим степенную функцию с нечетным отрицательным показателем в общем виде(рис. 4).

Свойства:

2. Функция нечетная

3. Убывает на луче и на луче

4. Не ограничена ни сверху, ни снизу.

5. Не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

6. Непрерывна при и при .

8. Выпукла вверх при и выпукла вниз при

Рассмотрим асимптоты кривых (рис. 4).

Все кривые проходят через точки и .

Если

Т.е. ось x – горизонтальная асимптота.

Если

Т.е. ось y – вертикальная асимптота.

Рассмотрим интервалы знакопостоянства для функций (рис. 5).

Если то .

Если 0 то .

не имеет решений.

Например:

Рассмотрим взаимное расположение графиков функций (рис. 6).

1		2
1	8
1	32

4. Примеры

Решим еще несколько задач.

1. Найти область значений функции

Решение:

Функциямонотонно убывает при (рис. ).

Если то yубывает,

Ответ:

Если , то yубывает,

Ответ: .

2. Решите графически неравенство.

Решение:

Построим графики функций для в одних координатных осях (рис. 9).

Функция монотонно возрастает, функция монотонно убывает, при они имеют единственную точку пересечения.

Ответ:

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/stepennaya-funktsiya-y-x-sup-2n-sup-ee-svoystva-i-grafik?konspekt&chapter_id=34

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/stepennaya-funktsiya-y-x-sup-2n-1-sup-ee-svoystva-i-grafik?konspekt&chapter_id=34

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=Jwz6rdS-RV4

Файлы

Нет дополнительных материалов для этого занятия.