9 класс. Алгебра. Степенная функция.
9 класс. Алгебра. Степенная функция.
Комментарии преподавателя
На данном уроке вы ознакомитесь с понятием кубического корня из действительного числа, также вы узнаете, что такое функция 
. Мы изучим различные основные ее свойства и рассмотрим график. Также решим типовые примеры по данной теме
Определение кубического корня, его запись и назначение
Практическая задача
Необходимо сконструировать кубический резервуар, объем которого равен 
(
). Как отмерить величину ребра?
Решение:
Предположим, что ребро куба имеет длину 
(м). В этом случае объем будет равен 
(). Получается, что необходимо подобрать такое число , куб которого равен 
(
).
Например: если объем равен 
, то длина ребра будет равна 2 м (
).
На основании этого примера можно сделать вывод, что необходимо уметь находить число, если известен его куб.
На данном этапе эту задачу можно сравнить с квадратным корнем. И нахождение искомого числа будет происходить по аналогии.
Определение:
Число называется кубическим корнем или корнем третьей степени числа , если выполняется соотношение 
. Это можно записать как
, в этом случае – подкоренное выражение, 3 – показатель корня.
Таким образом, выражения 
эквивалентны, то есть выражают одну и ту же зависимость между действительными числами и .
Например:
Кубический корень из существует для любого действительного числа .
Как и в случае квадратного корня, при извлечении кубического корня из рационального числа часто будет появляться иррациональный результат.
Доказательство иррациональности
Построим доказательство методом от противного. Предположим, что 
– рациональное число, то есть его можно представить в виде 
, где 
чисто целое, 
– натуральное. Причем – это несократимая обыкновенная дробь. Тогда по определению: 
, откуда следует, что 
. Последнее равенство означает, что пятерка является делителем числа 
, то есть натуральное число делится на пять без остатка. Однако это возможно тогда и только тогда, когда пятерка является делителем самого числа , то есть 
, где 
– некоторое натуральное число.
Подставим значение из последнего равенства в начальное:
Последнее равенство означает, что двадцать пять является делителем числа 
и тем более, что делится на пять, тогда и число делится без остатка на пять.
Таким образом, мы получили, что и делятся на пять, а это значит, что – сократимая дробь, так как и числитель и знаменатель можно сократить на пять, но это противоречит нашему предположению. Значит, – иррациональное число.
Результат возведения в куб отрицательного числа будет числом отрицательным, следовательно, и корень кубический из отрицательного числа будет отрицательным числом.
Доказать:
Доказательство:
Пусть 
, 
, тогда, по определению кубического корня, 
, 
. Отсюда следует, что 
или 
. Из последнего равенства следует, что 
, а значит, справедливо исходное тождество 
.
Задача о проектировании кубического резервуара
Необходимо автоматизировать процесс сварки. На вход поступает число – объем куба – автомат должен сам посчитать длину ребра.
Как научить автомат извлекать корень кубический из любого действительного числа? Для этого введем понятие функции, область определения которой – все действительные числа.
Свойства функции 
Рассмотрим функцию 
, выясним ее свойства и постоим график.
1. Область определения функции – множество действительных чисел (
).
2. Данная функция является нечетной.
3. Функция возрастает на луче от нуля до плюс бесконечности (
при 
).
Доказательство
Возьмем два значения аргумента, расположенные следующим образом: 
. Необходимо доказать: 
.
Построим доказательство методом от противного. Предположим, что 
, тогда, по свойству числовых неравенств, при возведении левую и правую часть в куб знак неравенства сохраняется 
. Таким образом, 
, что противоречит условию задачи. Исходя из этого, можно сделать вывод, что наше предположение неверно и .
В силу нечетности функции, свойство можно обобщить на всю область определения ( при 
).
4. Функция не ограничена сверху на луче от нуля до плюс бесконечности (
)
Доказательство
Дано: 
.
Доказать: 
.
Построим доказательство методом от противного. Предположим, что существует такое положительное число 
, что для любого выполняется неравенство 
. Возьмем на луче от нуля до плюс бесконечности некую точку 
. Тогда значение функции в этой точке будет равно 
, а это больше . Значит, мы нашли точку, такую, что 
что противоречит нашему предположению.
Функция монотонно возрастает на всей области определения и не ограничена ни сверху, ни снизу.
Не ограничена сверху при , не ограничена снизу при 
.
Доказывается это аналогично приведенным доказательствам для положительной полуоси 
.
5. Функция ограничена снизу (
)
Построим график функции на луче от нуля до плюс бесконечности (
). Для этого сперва составим таблицу значений:
|
X |
0 |
1 |
8 |
|
|
Y |
0 |
1 |
2 |
|
Построим четыре точки на координатной плоскости, координаты которых возьмем из таблицы. По данным точкам можно построить некоторую линию, которую можно построить, учитывая возрастающий характер функции и ее неограниченность сверху. Воспользовавшись нечетностью функции, добавим к приведенной линии ветвь, симметричную ей относительно начала координат (рис. 1).
Рис. 1. Построение графика функции по точкам
С помощью этого графика и уже установленных свойств функции легко определить оставшиеся свойства функции.
6. Функция непрерывна на всей числовой прямой.
7. Область значений функции – это все действительные числа (
).
8. Функция выпукла вниз на луче 
и выпукла вверх на луче 
.
Решение задач по теме
Задача
Имеется помещение кубической формы, в которое необходимо подобрать подходящий обогреватель. Теплоизоляция стен имеет фиксированную теплопроводность для всех возможных размеров помещений.
Решение
Пусть длина, ширина и высота равны 
, так как в кубе все эти величины равны. Количество теплоты, потребляемое помещением в единице времени от обогревателя, пропорционально объему помещения, то есть равно 
, где 
– некоторый коэффициент пропорциональности. Количество теплоты, отдаваемое сквозь стены в окружающее пространство, пропорционально площади стен, то есть равно 
, где 
– некоторый коэффициент пропорциональности. Конкретный смысл и значение этих коэффициентов нас интересовать не будут. Обозначим как 
отношение потребляемого и отдаваемого количества теплоты: 
. Поскольку 
, где – объем помещения, то имеем: 
. Без вреда для понимания решения задачи мы можем принять 
. Тогда мы имеем в точности нашу изучаемую функцию. Таким образом, мощность нагревателя зависит от объема помещения как корень кубический из этого объема. Это может быть полезно при проектировании систем обогрева.
Задача
Решить уравнение 
.
Воспользуемся графическим способом решения: построим графики функций и 
(рис. 2).
Рис. 2. Графическое решение уравнения
Найдем точки пересечения двух графиков. Как видно из рисунка, графики пересекаются лишь в одной точке с координатами 
.
Ответ: исходное уравнение имеет один корень 
.
Задача
Построить график функции 
.
Решение
Для того чтобы решить данную задачу, вспомним тему «Преобразование графиков функций».
Рис. 3. Построение графика функции .
Вначале построим график функции , затем сместим этот график параллельным переносом влево на единицу (
), затем сместим параллельным переносом график вниз на две единицы (). Таким образом, мы получили график требуемой функции (рис. 3).
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/chislovye-funktsii/funktsiya-u-3-ee-svoystva-i-grafik?konspekt&chapter_id=34
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=OzsIB9eOTpg