10 класс. Алгебра. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы и для нахождения значений непрерывной функции.

Комментарии преподавателя

При­ме­не­ние про­из­вод­ной для отыс­ка­ния наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го зна­че­ний непре­рыв­ной функ­ции на про­ме­жут­ке

 1. Введение. Постановка задачи

На этом за­ня­тии рас­смот­рим более про­стую за­да­чу, а имен­но, будет задан про­ме­жу­ток, будет за­да­на непре­рыв­ная функ­ция на этом про­ме­жут­ке. Надо узнать наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние за­дан­ной функ­ции на за­дан­ном про­ме­жут­ке.

 2. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции без производной

№ 32.1 (б). Дано: , . На­ри­су­ем гра­фик функ­ции (см. рис.1).

Рис. 1. Гра­фик функ­ции .

Из­вест­но, что эта функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке , зна­чит, она воз­рас­та­ет и на от­рез­ке . А зна­чит, если найти зна­че­ние функ­ции в точ­ках  и , то будут из­вест­ны пре­де­лы из­ме­не­ния дан­ной функ­ции, ее самое боль­шое и самое ма­лень­кое зна­че­ние.

Когда ар­гу­мент воз­рас­та­ет от  до 8, функ­ция воз­рас­та­ет от  до .

Ответ: ; .

 3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений тригонометрической функции

№ 32.2 (а) Дано:   Найти наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ния функ­ции на за­дан­ном про­ме­жут­ке.

По­стро­им гра­фик этой функ­ции (см. рис.2).

Если ар­гу­мент ме­ня­ет­ся на про­ме­жут­ке , то функ­ция воз­рас­та­ет от -2 до 2. Если ар­гу­мент воз­рас­та­ет от , то функ­ция убы­ва­ет от 2 до 0.

Рис. 2. Гра­фик функ­ции .

Най­дем про­из­вод­ную .

,  . Если , то  и это зна­че­ние при­над­ле­жит за­дан­но­му от­рез­ку . Если , то . Легко про­ве­рить, если  при­ни­ма­ет дру­гие зна­че­ния, со­от­вет­ству­ю­щие ста­ци­о­нар­ные точки вы­хо­дят за пре­де­лы за­дан­но­го от­рез­ка. Срав­ним зна­че­ния функ­ции на кон­цах от­рез­ка и в ото­бран­ных точ­ках, в ко­то­рых про­из­вод­ная равна нулю. Най­дем

;

;

.

Ответ: ;.

Итак, ответ по­лу­чен. Про­из­вод­ную в дан­ном слу­чае можно ис­поль­зо­вать, можно не ис­поль­зо­вать, при­ме­нить свой­ства функ­ции, ко­то­рые были изу­че­ны ранее. Так бы­ва­ет не все­гда, ино­гда при­ме­не­ние про­из­вод­ной – это един­ствен­ный метод, ко­то­рый поз­во­ля­ет ре­шать по­доб­ные за­да­чи.

 4. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции с помощью производной

№ 32.10 (а)

Дано: , . Найти наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на дан­ном от­рез­ке.

Если в преды­ду­щем слу­чае можно было обой­тись без про­из­вод­ной – мы знали, как себя ведет функ­ция, то в дан­ном слу­чае функ­ция до­воль­но слож­ная. По­это­му, ту ме­то­ди­ку, ко­то­рую мы упо­мя­ну­ли на преды­ду­щей за­да­че, при­ме­ним в пол­ном объ­е­ме.

1. Най­дем про­из­вод­ную . Най­дем кри­ти­че­ские точки  , от­сю­да ,  - кри­ти­че­ские точки. Из них вы­би­ра­ем те, ко­то­рые при­над­ле­жат дан­но­му от­рез­ку: . Срав­ним зна­че­ние функ­ции в точ­ках , , . Для этого най­дем

;

;

.

Про­ил­лю­стри­ру­ем ре­зуль­тат на ри­сун­ке (см. рис.3).

Рис. 3. Пре­де­лы из­ме­не­ния зна­че­ний функ­ции 

Видим, что если ар­гу­мент ме­ня­ет­ся от 0 до 2, функ­ция из­ме­ня­ет­ся в пре­де­лах от -3 до 4. Функ­ция ме­ня­ет­ся не мо­но­тон­но: она либо воз­рас­та­ет, либо убы­ва­ет.

Ответ: ;.

 5. Алгоритм решения задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции

Итак, на трех при­ме­рах была про­де­мон­стри­ро­ва­на общая ме­то­ди­ка на­хож­де­ния наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го зна­че­ния функ­ции на про­ме­жут­ке, в дан­ном слу­чае – на от­рез­ке.

Ал­го­ритм ре­ше­ния за­да­чи на на­хож­де­ние наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го зна­че­ний функ­ции:

1. Найти про­из­вод­ную функ­ции.

2. Найти кри­ти­че­ские точки функ­ции и отобрать те точки, ко­то­рые на­хо­дят­ся на за­дан­ном от­рез­ке.

3. Найти зна­че­ния функ­ции на кон­цах от­рез­ка и в ото­бран­ных точ­ках.

4. Срав­нить эти зна­че­ния, и вы­брать наи­боль­шее и наи­мень­шее.

 6. Решение задачи

Рас­смот­рим еще один при­мер.

Найти наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции , .

Ранее был рас­смот­рен гра­фик этой функ­ции (см. рис.4).

Рис. 4. Гра­фик функ­ции .

На про­ме­жут­ке  об­ласть зна­че­ния этой функ­ции . Точка  - точка мак­си­му­ма. При  - функ­ция воз­рас­та­ет, при  – функ­ция убы­ва­ет. Из чер­те­жа видно, что ,  - не су­ще­ству­ет.

 7. Итог урока

Итак, на уроке рас­смот­ре­ли за­да­чу о наи­боль­шем и наи­мень­шем зна­че­нии функ­ции, когда за­дан­ным про­ме­жут­ком яв­ля­ет­ся от­ре­зок; сфор­му­ли­ро­ва­ли ал­го­ритм ре­ше­ния по­доб­ных задач.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/primenenie-proizvodnoy-dlya-nahozhdeniya-naibolshego-i-naimenshego-znacheniy-nepreryvnoy-funktsii-na-promezhutke

http://www.youtube.com/watch?v=ixHUfqhwjnQ

http://www.youtube.com/watch?v=xSMKXPugqUM

http://www.youtube.com/watch?v=HrIyee4FBq4

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://ppt4web.ru/algebra/primenenie-proizvodnojj-dlja-issledovanija-funkcijj.html

Файлы