10 класс. Алгебра. Производная. Числовая последовательность.
10 класс. Алгебра. Производная. Числовая последовательность.
Комментарии преподавателя
Предел числовой последовательности
Числовая последовательность – частный случай функции, которая задана на множестве натуральных чисел. Некоторые числовые последовательности сходятся, то есть имеют предел, тогда пишут 
либо по-иному: 
когда 
, это означает, что при достаточно больших 
, 
.
Более точно, если у нас есть предел и его 
– окрестность (рис. 1), то начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в -окрестности точки 
.
Рис. 1.Члены последовательности находятся в -окрестности точки
Определение предела числовой последовательности
Пример 1
Последовательность 
. Предел этой последовательности 
, это означает, что при достаточно больших , все 
находятся вблизи от нуля. Может ли быть здесь два предела? Докажем, что если последовательность имеет предел, то он только один.
Вот последовательность и два предела (рис. 2).
Рис. 2.Последовательность и два предела 
Что значит 
? Это означает, что найдется такая малая окрестность точки 
, что начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в этой -окрестности.
А что значит 
? Это означает, что начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в -окрестности точки 
. Но возможно ли это? Между и есть некое расстояние (рис. 3).
Рис. 3. Расстояние между и
Выберем 
, -окрестности не пересекаются. Начиная с некоторого номера все члены последовательности находятся в ε-окрестности одной точки и второй точки, но эти ε-окрестности не пересекаются. Таким образом, если у последовательности есть предел, то он один.
Определение: число называется пределом последовательности , если в любой заранее выбранной -окрестности точки , 
, содержатся все члены последовательности начиная с некоторого номера (рис. 4).
Рис. 4.
Число может быть очень малым. Сходящиеся последовательности – те последовательности, которые имеют предел.
Свойства сходящейся числовой последовательности
Если последовательность сходится, то:
- только к одному пределу;
- она ограничена.
Как узнать, что последовательности сходятся? Для некоторых последовательностей это можно сделать. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.
Теорема Вейерштрасса
Рис. 5. Иллюстрация к теореме Вейерштрасса
Последовательность возрастает. Число точек не ограничено, последовательность ограничена числом . Значит, к числу либо к любому другому числу все точки последовательности сгущаются. Это наглядно показывает, что монотонность и ограниченность – два свойства, которые являются достаточными для того, чтобы последовательность имела предел. В этом смысл теоремы Вейерштрасса (рис. 5).
Теорема для вычисления пределов конкретных последовательностей
Даны две последовательности 
и , 
и 
. Последовательности сходящиеся.
– новая последовательность, ее предел 
. Предел суммы последовательностей, равен сумме пределов этих последовательностей.
. Этот предел равен произведению 
, то есть произведению этих пределов.
. Предел этой последовательности, то есть предел частного равен 
, где 
.
, где 
постоянный множитель, который можно вынести за знак предела.
Примеры с использованием теоремы вычисления
Пример 1
, мы знаем, что 
, отсюда 
.
Пример 2
Найти предел последовательности 
.
Последовательность, сходящаяся, имеет предел, равный 1.
Задача на геометрическую прогрессию
Перейдем к следующей задаче.
Найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия обозначается следующим образом: 
.
Второй член геометрической прогрессии 
, где 
– знаменатель прогрессии, третий член 
и т.д.
– определение геометрической прогрессии, членов у этой прогрессии бесчисленное множество.
Прогрессия называется убывающей, если знаменатель по модулю меньше единицы: 
.
Рассмотрим последовательность частичных сумм.
.
Если есть конечная геометрическая прогрессия, то сумма членов вычисляется по этой формуле. Необходимо знать первый член, знаменатель и число членов.
Бесконечная убывающая прогрессия
Если последовательность 
стремится к некоторому числу, то это число и будет называться суммой бесконечной геометрической убывающей прогрессии, если это число есть, то это сумма 
то есть это сумма бесконечного числа слагаемых.
, чтобы доказать это, предварительно обсудим следующее утверждение: 
, если 
.
Пусть 
, тогда 
, 
, 
и т.д. Понятно, что с ростом дробь уменьшается, естественно предположить, что 
. Тогда становится понятно, что последовательность 
убывает, ограничена снизу и имеет предел, равный нулю.
.
Утверждение «Сумма бесконечной геометрической прогрессии»
Сумма бесконечной геометрической прогрессии.
Если знаменатель 
геометрической прогрессии 
удовлетворяет неравенству , то сумма 
прогрессии вычисляется по формуле: 
.
Докажем эту формулу.
Доказательство: вспомним, что – это предел последовательности частичных сумм. Постоянный множитель 
от не зависит. От зависит 
. Постоянный множитель можем вынести за знак предела. Получаем предел разности, что в свою очередь является разностью пределов: 
.
Формула доказана.
Задача на сумму геометрической прогрессии
Пример
Найти сумму геометрической прогресси:
.
; .
Значит, имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию: 
.
Ответ: 
.
Обсудим задачу.
, значит, 
. Рассмотрим следующую геометрическую модель. Имеем отрезок 
длиной в единицу (рис. 6). 
первое слагаемое, уже половина отрезка, второе слагаемое 
это половина оставшегося отрезка, третье слагаемое 
половина оставшегося отрезка и т.д.
Рис. 6.Отрезок
Апории Зенона
В заключении вспомним и упростим апории Зенона, согласно которой, как он доказывал, Ахиллес никогда не догонит черепаху. Мы остановим черепаху и докажем, что Ахиллес или другой бегун никогда не поравняется с черепахой. Необходимо найти ошибку в рассуждениях.
Рис. 7. Бегун и черепаха
В точке 
– бегун, в точке 
– черепаха, расстояние 
, скорость бегуна 
. Пробегая половину пути, бегун затратит время, теперь он находится в точке 
(рис. 7).
Рис. 8. Положение бегуна и черепахи после преодоления половины пути
Далее ему нужно затратить время, чтобы пройти половину пути (рис. 8). И все равно черепаха впереди, а бегун сзади. Бегун проходит еще часть пути, затратив время, и достигает точки 
. Но черепаха впереди, а бегун сзади.
Рис. 9. Положение бегуна в точке и положение черепахи
И все равно черепаха впереди, а бегун сзади. Между ними расстояние. Чтобы пройти расстояние и попасть в точку 
, нужно затратить время (рис. 10). Но черепаха опять впереди, а бегун сзади. И так далее. Доказали, что никто и никогда не поравняется с черепахой.
Рис. 10. Положение бегуна в точке 
и положение черепахи
Вывод
Мы сформулировали определение числовой последовательности, рассмотрели предел числовой последовательности, а также сумму бесконечной геометрической прогрессии, привели примеры задач на предел числовой последовательности.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/summa-beskonechnoy-geometricheskoy-progressii
http://www.youtube.com/watch?v=Hkn8UmsNQEw
http://www.youtube.com/watch?v=iGj31Mv96-4
http://www.youtube.com/watch?v=UuuBvpaVuXY
http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf
http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik/glava-5-proizvodnaya/25-summa-beskonechnoj-geometricheskoj-progressii
http://cartalana.ru/m-45.php