5 класс. Математика. Умножение и деление натуральных чисел

Умножение и деление натуральных чисел

ДАЛЬШЕ

Умножение и деление натуральных чисел

Комментарии преподавателя

На данном уроке вы научитесь умножать натуральные числа, познакомитесь со свойствами умножения, а также научитесь применять полученные знания на практике.

Умножение натуральных чисел

Если сумма состоит из равных слагаемых, то ее можно записать короче: 25 + 25 можно записать, как 25 * 2.

.

Натуральное число m умножить на натуральное число n – это значит найти значение суммы, которая состоит из nслагаемых, каждое из которых равно m. m является первым множителем, n является вторым множителем, m * nявляется произведением (рис. 1).

Рис. 1. Умножение

Примеры: 1.

Произведение чисел 8 и x

8 * x.

2. Произведение суммы чисел a и b и числа 15

(а + в) * 15.

3. Произведение (m + 2) и (k - 3) (m + 2) * (k - 3).

Первый множитель – (m + 2), второй множитель – (k - 3)

4. Произведение 4ab состоит из трех множителей: первый множитель – 4, второй множитель – a, третий множитель – в.

5. Число 12 можно представить в виде произведения несколькими способами:

12 * 1

6 * 2

4 * 3

.

Сравнение произведений

Если произведение содержит одинаковый множитель, то из них больше то, у которого второй множитель больше.

1.

2.

3. 195 * 12 > 190 * 8, так как первый множитель первого произведения больше первого множителя второго произведения. Второй множитель первого произведения, аналогично, больше второго множителя второго произведения. Очевидно, что первое произведение больше.

Если оба множителя первого произведения больше обоих множителей второго произведения, то первое произведение больше.

Эти свойства можно использовать при доказательстве следующего неравенства:

20 * 30 < 23 * 35 < 30 * 40

Свойства умножения

При решении различных задач применяют свойства умножения.

1. Переместительное: от перестановки мест множителей значение произведения не меняется.

2. Сочетательное: чтобы число умножить на произведение двух чисел, можно его сначала умножить на первый множитель, а затем полученное произведение умножить на второй.

3. Умножение на единицу: если число умножить на единицу, то число не изменится.

4. Умножение числа на нуль: если число умножить на нуль, то получится нуль.

Т. е., при умножении любого числа на нуль, получится нуль.

Примеры.

1.

2.

3.

4.

5. .

Все эти свойства удобно применять при решении различных примеров.

Примеры

1.

2. 2500 * 40 = 25 * 100 * 4 * 10 = 25 * 4 * 100 * 10 = 100000.

3.

4.

5. 125 * (42 * 80) = 125 * (80 * 42) = (125 * 80) * 42 = 10000 * 42 = 420000

Применим сначала переместительный закон в скобках, получим 125 умножить на произведение чисел 80 и 42. Теперь применим сочетательный закон и в итоге получим 10000 умножить на 42. Получаем 420000.

Произведение больших чисел удобнее находить в столбик. Вы этому учились в начальной школе.

Изучив действие умножения, круг решения задач расширяется.

Задача

В первом ящике – 12 кг помидор, во втором ящике – в три раза больше, чем в первом. Сколько кг в обоих ящиках?

Первым действием мы узнаем, сколько кг помидор во втором ящике. 1. 12 * 3 = 36 (кг) – помидор во втором ящике; Вторым действие узнаем, сколько кг помидор в двух ящиках. 2. 36 + 12 = 48 (кг) – помидор в двух ящиках. Ответ: в обоих ящиках 48 кг помидор.

На данном уроке вы сможете изучить новое действие – деление натуральных чисел, а также деление натуральных чисел с остатком, узнаете свойства деления и научитесь применять деление на практике, используя его для решения различных задач.

Деление

Действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель, называют делением.

Пишут, 48:12=4.

Число, которое делят (48), называютделимым. Число, на которое делят (12), называют делителем. Результат деления (4) называют частным.

Назовите делимое и делитель в частных:

1.(254 + 781) : (97 - 92); (254 + 781) – делимое, (97 - 92) – делитель

2. 18c : a; 18c – делимое, a – делитель

3. (3 - y) : m; (3 - y) – делимое, m – делитель

4. x : (b + 5); x – делимое, (b + 5) – делитель

При делении натуральных чисел можно использовать следующие свойства:

1. а : 0 !!!

Ни одно число нельзя делить на нуль.

2. а : 1 = a

При делении числа на единицу получится то же самое число.

3. а : a = 1, a

При делении числа на это же число, если оно не равно нулю, получится единица.

4. 0 : a = 0, a

При делении нуля на любое число, если оно не равно нулю, получится нуль.

Например, 0 : 27 = 0; 85 : 1 = 85; 87 : 87 = 1.

Примеры

1. При каких значениях буквы верно равенство:

25 : a = 25, верно при a = 1

y : 14 = 1, верно при y = 14

1 : x = 1, верно при x = 1

m : 5 = 0, верно при m = 0

d : d = 1, верно при d – любое, кроме нуля

p : 1 = 1, верно при p = 1

2. Изучив действия сложения, вычитания, умножения и деления, мы можем решать различные уравнения. Решим несколько уравнений:

1.

x - 12 = 56:8

x -12 = 7

x = 7 + 12

x = 19

Ответ: x = 19

2. (y + 25):8 = 6

y + 25 =

y + 25 = 48

y = 48 - 25

y = 23

Ответ: y = 23

3. 124 : (5 - x) = 31

5 - x = 124 : 31

5 - x = 4

x = 5 - 4

x = 1

Ответ: x = 1

4. 44 : z + 9 = 20

44 : z = 20 - 9

44 : z = 11

z = 44 : 11

z = 4

Ответ: z = 4

5. 25b + 49 = 149

25b = 149 - 49

25b = 100

b = 100:25

b = 4

Ответ: b = 4

6. 9x - 54 = 126

9x = 126 + 54

9x = 180

x = 180 : 9

x = 20

Ответ: x = 20

7. 69 – 8y = 45

8y = 69 - 45

8y = 24

y = 24 : 8

y = 3

Ответ: y = 3

Деление с остатком

Не всегда деление одного натурального числа на другое возможно. Рассмотрим следующий пример,

23 : 4 = 5 (ост. 3)

23 = 5 * 4 + 3

23 является делимым, 4 является делителем, 5 является неполным частным и 3 – остаток. Остаток должен быть всегда меньше делителя. Чтобы найти делимое при делении с остатком, нужно неполное частное умножить на делитель и к этому произведению прибавить остаток. Примеры: Укажите неполное частное, делитель и остаток:

1. 2053 = + 37.

2053 – делимое, 24 – неполное частное, 84 – делитель, 37 – остаток.

2. 2891 =

2891 – делимое, 2 – неполное частное, 1000 – делитель, 891 – остаток. Если поменять множители местами, применив переместительное свойство умножения, то казалось бы, мы ничего не изменили. Но не может быть делитель, а он бы стал 2, быть меньше остатка. Поэтому запись «1000 + 891» не верна. Если бы мы ее встретили, нам пришлось бы, как раз наоборот, применить переместительный закон умножения.

Если остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель нацело. И можно тогда представить произведение: делитель умножить на частное.

24 = 8 * 3

Задачи на неполное частное

Сколько деталей по 18 кг можно отлить из 10 болванок по 20 кг? И сколько кг чугуна останется?

Работа происходит в литейном цехе, т. к. глагол был «отлить». Поэтому нам необходимо найти массу всего чугуна.

1. (кг) – масса всего чугуна;

2. 200:18 = 11 (д) получится и 2 кг чугуна останется;

Ответ: получится 11 деталей, и 2 кг останется.

Но если бы работали в токарном цеху, то нельзя было бы находить массу всего чугуна, тогда бы из одной болванки получилась бы только одна деталь.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/matematika/5-klass/bumnozhenie-i-delenie-naturalnyh-chiselb/umnozhenie-naturalnyh-chisel-i-ego-svoystva?konspekt&chapter_id=769

http://interneturok.ru/ru/school/matematika/5-klass/bumnozhenie-i-delenie-naturalnyh-chiselb/delenie-delenie-s-ostatkom?konspekt&chapter_id=769

Источник теста: alfusja-bahova.ucoz.ru/load/

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=qDd6OJ-70vk

Источник файла:http://ppt4web.ru/matematika/umnozhenie-i-delenie-naturalnykh-chisel1.html