5 класс. Математика. Сравнение и округление натуральных чисел

Комментарии преподавателя

Данный урок посвящен сравнению натуральных чисел. В этом уроке мы научимся сравнивать натуральные числа, многозначные натуральные числа по разрядам. Мы выведем алгоритм сравнения чисел на примере точек, мешочков и коробок, не забывая при этом, что мы пользуемся десятичной позиционной системой счисления, что означает каждый следующий разряд в десять раз больше предыдущего.

Введение

Тема се­го­дняш­не­го урока – «Срав­не­ние на­ту­раль­ных чисел». Да­вай­те вспом­ним, что это за числа. На­ту­раль­ные числа – это числа, ко­то­рые мы ис­поль­зу­ем при счете: 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т.д. Ка­жет­ся, что ни­че­го слож­но­го в срав­не­нии на­ту­раль­ных чисел нет. На­при­мер, 12 и 28, сразу по­нят­но, что число 28 боль­ше, чем 12. Если срав­нить слона и че­ло­ве­ка, то слон весит боль­ше, чем че­ло­век, это знает со­всем ма­лень­кий ре­бе­нок. Про­бле­мы нач­нут­ся, когда нам нужно будет срав­ни­вать боль­шие на­ту­раль­ные числа, у ко­то­рых в за­пи­си много цифр.

Алгоритм сравнения чисел

Да­вай­те по­про­бу­ем вы­ве­сти ал­го­ритм того, как нам срав­ни­вать боль­шие на­ту­раль­ные числа. Вы­во­дить ал­го­ритм мы будем на ма­лень­ких чис­лах. Да­вай­те срав­ним 120 и 21. Вы сразу ска­же­те, что 21 боль­ше. Но по­че­му? Да­вай­те вспом­ним, что у нас по­зи­ци­он­ная си­сте­ма счис­ле­ния. Это зна­чит, что каж­дый сле­ду­ю­щий раз­ряд в де­сять раз боль­ше преды­ду­ще­го. Сна­ча­ла идут еди­ни­цы (пред­ста­вим в виде точки), потом идут де­сят­ки (де­сять еди­ниц, пред­ста­вим их в виде ме­шоч­ков), а потом идут сотни (пред­ста­вим, что де­сять ме­шоч­ков сло­жи­ли в одну боль­шую ко­роб­ку – и по­лу­чи­лась сотня) (см. рис. 1, 2).

Рис. 1. Пред­ста­вим 100 в виде ко­роб­ки

Рис. 2. Пред­ста­вим 10 в виде ме­шоч­ка

Те­перь да­вай­те по­смот­рим на число 21: в нем одна еди­ни­ца (одна точка) и два де­сят­ка (то есть два ме­шоч­ка). А те­перь по­смот­рим на число 120: еди­ниц в нем во­об­ще нет – 0, в нем также два де­сят­ка (то есть два ме­шоч­ка), но еще в нем есть одна сотня (то есть одна ко­роб­ка). Те­перь как вы ду­ма­е­те, что будет боль­ше: два ме­шоч­ка и одна еди­ни­ца или два ме­шоч­ка и одна ко­роб­ка? В ко­роб­ке, как мы пом­ним лежит де­сять ме­шоч­ков. Здесь сразу ста­но­вит­ся ясно, что ко­роб­ка с двумя ме­шоч­ка­ми боль­ше, чем два ме­шоч­ка и еди­ни­ца. Имен­но по­это­му число 120 21, по­то­му что у него есть сотня (см. рис. 3).

Рис. Пред­ста­вим урав­не­ние 120  21 в виде ри­сун­ка

Сравнение многозначных чисел

Да­вай­те по­про­бу­ем еще срав­нить числа. На­при­мер, 345 и 257. Итак, в числе 345: три сотни, че­ты­ре де­сят­ка и пять еди­ниц (или три ко­роб­ки, че­ты­ре ме­шоч­ка и пять точек). Что такое 257: две сотни, пять де­сят­ков и семь еди­ниц. Какое число будет боль­ше? У пер­во­го числа 5 еди­ниц, у вто­ро­го – 7, у пер­во­го числа 4 де­сят­ка, у вто­ро­го – 5, у пер­во­го числа 3 сотни, у вто­ро­го – 2, зна­чит, 345  257. Хотя еди­ниц и де­сят­ков в числе 257 боль­ше, чем в 345, но сотен мень­ше. То есть можно было не смот­реть на де­сят­ки и еди­ни­цы, по­то­му что всё ре­ши­ли сотни. Можно было сразу на­чи­нать смот­реть на сотни, на стар­ший раз­ряд.

Рас­смот­рим числа 1056 и 4001. Вспом­ним преды­ду­щий при­мер, в ко­то­ром мы вы­яс­ни­ли, что на­чи­нать надо со стар­ше­го раз­ря­да. Смот­рим на пер­вое число 1056 – одна ты­ся­ча, во вто­ром числе 4001 – че­ты­ре ты­ся­чи. Число 1056  4001.

По­про­бу­ем срав­нить числа 156 и 1001. Оба числа имеют еди­ни­цу в на­ча­ле. В пер­вом числе 3 цифры – это одна сотня, а во вто­ром числе 4 цифры – это одна ты­ся­ча, сотен там нет, зна­чит, и срав­ни­вать даль­ше эти числа смыс­ла нет. Сразу по­нят­но, что боль­ше то число, где есть ты­ся­ча: 156  1001.

Про­дол­жа­ем срав­ни­вать числа: 3479 и 3489. Оба числа имеют че­ты­ре знака. На­чи­на­ем срав­ни­вать со стар­ше­го раз­ря­да: 3479 и 3489, в раз­ря­де тысяч в пер­вом и во вто­ром слу­чае по 3 ты­ся­чи. Идем даль­ше: в раз­ря­де сотен у чисел 3479 и 3489 – 4 сотни, оди­на­ко­во. Срав­ни­ва­ем раз­ряд де­ся­ток: 3479 и 3489, в пер­вом числе 7 де­сят­ков, а во вто­ром – 8, зна­чит, боль­ше то число, в ко­то­ром де­сят­ков боль­ше: 3479  3489.

Да­вай­те по­про­бу­ем срав­нить числа по­боль­ше: 145430 и 145321. Пер­вым делом про­ве­ря­ем, оди­на­ко­вое ли ко­ли­че­ство раз­ря­дов: в двух слу­ча­ях по шесть цифр, зна­чит, оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство раз­ря­дов. На­чи­на­ем срав­ни­вать по раз­ря­дам: 145430 и 145321 – равно, 145430 и 145321 – равно, 145430 и 145321 – равно, 145430 и 145321 – мы дошли до раз­ли­чий, 43, зна­чит, мы де­ла­ем вывод, что 145430  145321.

А те­перь да­вай­те срав­ним что-ни­будь очень боль­шое: 10 002 143 000 101 и 8 999 874 531 996.

По­смот­ри­те на эти два числа. Да­вай­те про­ве­рим, какое из этих двух чисел боль­ше. С чего на­чи­на­ем? По­счи­та­ем ко­ли­че­ство цифр: в пер­вом числе 14 цифр, а во вто­ром – 13. Зна­чит, вто­рое число мень­ше, чем пер­вое.

10 002 143 000 101  8 999 874 531 996

Итак, под­ве­дем итоги. Чтобы срав­нить два на­ту­раль­ных числа, надо сна­ча­ла по­счи­тать, сколь­ко цифр в каж­дом числе. Боль­ше будет то число, в ко­то­ром цифр боль­ше. Если же цифр оди­на­ко­вое ко­ли­че­ство, то на­чи­на­ем срав­ни­вать их по­раз­ряд­но слева на­пра­во. Боль­ше будет то число, у ко­то­ро­го пер­вый от­ли­ча­ю­щий­ся раз­ряд боль­ше. На этом наш урок за­кон­чен.

 

До­маш­нее за­да­ние

1. На­зо­ви­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число. Су­ще­ству­ет ли наи­боль­шее на­ту­раль­ное число?
2. Для каж­до­го ли на­ту­раль­но­го числа можно на­звать преды­ду­щее и по­сле­ду­ю­щее число?
3. Вы­пи­ши­те наи­мень­шее и наи­боль­шее числа из:
   1) од­но­знач­ных на­ту­раль­ных чисел,
   2) двух­знач­ных на­ту­раль­ных чисел,
   3) трех­знач­ных на­ту­раль­ных чисел,
   4) пя­ти­знач­ных на­ту­раль­ных чисел.

  

В жизни нам часто приходится использовать приближённые значения.

Пример:

Пусть длина пути между двумя железнодорожными станциями равна

7980 км. В таком случае обычно говорят, что расстояние между станциями около 8000 км.

Пример:

Если же длина пути между двумя железнодорожными станциями равна 7028 км, то в таком случае обычно говорят, что расстояние между станциями около 7000 км.

В обоих случаях произошла замена точного значения величины близким к нему круглым числом, т.е. произошло округление.

В результате округления получается приближённое значение величины.

Округление в приведённых примерах выглядит так:

7980≈8000;7028≈7000.

При округлении числа до некоторого разряда все цифры последующих разрядов заменяются нулями.

Цифра разряда, до которого выполняется округление, остаётся без изменения, если в округляемом числе за ней следует одна из цифр:

0,1,2,3,4, 

а если за ней следует цифра 5,6,7,8,9, то к цифре разряда, до которой округляли, прибавляется 1.

Пример:

При округлении до разряда тысяч, применяя или одно или другое правило, получим:

68823≈69000;283472≈283000.

Иногда, когда не требуется точное значение числового выражения, округляют его компоненты и выполняют действия с приближёнными значениями.

Такую операцию называют прикидкой результата действия.

Пример:

Составляя разность, можно выполнить такую прикидку:

1981−96≈2000−100≈1900

Источники:http://www.yaklass.ru/p/matematika/5-klass/naturalnye-chisla-13442/okruglenie-chisel-prikidka-i-otcenka-rezultatov-vychislenii-13527/re-62906334-97b0-4e95-b01d-3028a0153b70

 

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=dYhtvBVXzB4

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/matematika/5-klass/bnaturalnye-chislab/sravnenie-naturalnyh-chisel-variant-2-bogdanovich-e-m?konspekt&chapter_id=766

Файлы