5 класс. Математика. Сложение и вычитание обыкновенных дробей

Комментарии преподавателя

Для на­ча­ла да­вай­те вспом­ним, что такое сме­шан­ные числа. Сме­шан­ное число – число, за­пи­сан­ное в таком виде, что у него есть целая часть и дроб­ная часть. На­при­мер, . Здесь 3 – целая часть,  – дроб­ная.

 Задача 1

Пред­по­ло­жим, нам дали такую за­да­чу. Вася про­бе­жал пер­вый из двух кру­гов ди­стан­ции за 1 ми­ну­ту 40 се­кунд, а вто­рой круг – за 1 ми­ну­ту 20 се­кунд. За какое время Вася про­бе­жал всю ди­стан­цию и на­сколь­ко быст­рее он про­бе­жал вто­рой круг, чем пер­вый?

Ре­ше­ние

Неслож­но ви­деть, что мы можем сло­жить ми­ну­ты с ми­ну­та­ми, се­кун­ды – с се­кун­да­ми. По­лу­чит­ся 2 мин + 60 се­кунд, т. е. 3 мин. Но, с дру­гой сто­ро­ны, 40 се­кунд – это  ми­ну­ты, а 20 се­кунд – . И тогда, по ана­ло­гии, чтобы сло­жить эти сме­шан­ные числа, мы можем не пе­ре­во­дить их в непра­виль­ные дроби, а сразу сло­жить целые ми­ну­ты друг с дру­гом, и от­дель­но – дроб­ные. Это дает 2 ми­ну­ты и , то есть еще одну целую ми­ну­ту. Итого 3 ми­ну­ты.

Можно было все это про­де­лать и так. За­ме­тим, что сме­шан­ное число есть сумма своих целой и дроб­ной ча­стей. А даль­ше вос­поль­зу­ем­ся пе­ре­ме­сти­тель­ным свой­ством:

А что с вы­чи­та­ни­ем? То же самое. Из чисто прак­ти­че­ских со­об­ра­же­ний пер­вый круг по ми­ну­там оди­на­ков со вто­рым, а по се­кун­дам – на 20 доль­ше (или на треть ми­ну­ты). Можно и так:

Думаю, вы уже по­ня­ли ал­го­ритм? Из це­ло­го вы­чи­та­ем (к це­ло­му при­бав­ля­ем) целое, из дроб­но­го – дроб­ное. Рас­смот­рим еще несколь­ко при­ме­ров.

 Примеры на сложение

За­кре­пим эти вы­клад­ки пра­ви­лом. Чтобы сло­жить два сме­шан­ных числа, необ­хо­ди­мо:

• сло­жить их целые части;
• сло­жить их дроб­ные части;
• если нужно, пе­ре­ве­сти сумму дроб­ных ча­стей в сме­шан­ное число;
• сло­жить по­лу­чен­ные числа.

Пе­рей­дем к вы­чи­та­нию. Рас­смот­рим несколь­ко при­ме­ров, после чего сфор­му­ли­ру­ем общий ал­го­ритм.

 

Найти ошиб­ки в при­ме­рах на сло­же­ние

1. 
2. 

Рас­смот­рим вни­ма­тель­но пер­вый при­мер: сме­шан­ное число  за­ме­ни­ли дро­бью , а число  – , но дан­ные дроби не равны. Если мы решим пе­ре­во­дить дроби в непра­виль­ные, то по­лу­чим сле­ду­ю­щее:

Те­перь пе­рей­дем ко вто­ро­му при­ме­ру, в нем дей­ствия вы­пол­ня­ют­ся со­глас­но рас­смот­рен­но­му нами ал­го­рит­му. Как видим, все дей­ствия вы­пол­не­ны пра­виль­но, од­на­ко при­ня­то за­пи­сы­вать сме­шан­ные числа так, чтобы их дроб­ная часть яв­ля­лась пра­виль­ной дро­бью. По­это­му пред­ста­вим дробь  в виде сме­шан­но­го числа, а потом уже вы­пол­ним сло­же­ние.

 Примеры на вычитание

1. 
2. 

Если пойти по плану, то надо из  вы­честь . Этого мы сде­лать не можем. Тогда по­сту­пим так, как мы де­ла­ем при вы­чи­та­нии на­ту­раль­ных чисел: зай­мем у стар­ше­го раз­ря­да. Толь­ко роль стар­ше­го раз­ря­да здесь будет иг­рать целая часть. Ведь еди­ни­ца – это , так что можно вме­сто  за­пи­сать . А даль­ше – по плану:

А что де­лать, если при­ш­лось вы­чи­тать из на­ту­раль­но­го числа сме­шан­ное? То же самое:

.

За­кре­пим эти вы­клад­ки пра­ви­лом. Чтобы вы­честь одно сме­шан­ное число из дру­го­го, вы долж­ны:

• срав­нить дроб­ные части умень­ша­е­мо­го и вы­чи­та­е­мо­го;
• если дроб­ная часть умень­ша­е­мо­го боль­ше, то вы­честь из целой части целую часть, из дроб­ной части дроб­ную часть, а ре­зуль­та­ты сло­жить;
• если же боль­ше дроб­ная часть вы­чи­та­е­мо­го, то одну еди­ни­цу от целой части умень­ша­е­мо­го мы пе­ре­во­дим в дробь, чтобы дробь стала непра­виль­ной, а затем вы­чи­та­ем из целой части целую, а из дроб­ной – дроб­ную, и ре­зуль­та­ты скла­ды­ва­ем.

 

Найти ошиб­ки в при­ме­рах на вы­чи­та­ние

1. 
2. 

Рас­смот­рим пер­вый при­мер. Со­глас­но ал­го­рит­му, мы долж­ны сна­ча­ла 12 пред­ста­вить в виде сме­шан­но­го числа, а затем уже вы­пол­нять вы­чи­та­ние:

Рас­смот­рим вто­рой при­мер. Здесь ошиб­ка при вы­чи­та­нии дроб­ных ча­стей: нам необ­хо­ди­мо из дроб­ной части умень­ша­е­мо­го вы­честь дроб­ную часть вы­чи­та­е­мо­го, а не на­о­бо­рот. Чтобы это вы­пол­нить, нам при­дет­ся за­нять 1 еди­ни­цу и пред­ста­вить ее в виде дроби.

 Заключение

На этом уроке мы по­зна­ко­ми­лись со сме­шан­ны­ми чис­ла­ми, на­учи­лись скла­ды­вать их и вы­чи­тать, сфор­му­ли­ро­ва­ли ал­го­рит­мы для сло­же­ния и вы­чи­та­ния. Узна­ли, что для сло­же­ния и вы­чи­та­ния сме­шан­ных чисел вовсе не обя­за­тель­но пе­ре­во­дить их в непра­виль­ные дроби, а до­ста­точ­но про­сто сло­жить либо вы­честь целые части и сло­жить либо вы­честь дроб­ные части, после чего за­пи­сать окон­ча­тель­ный ответ.

В каж­дом из слу­ча­ев у нас была одна тон­кость. Для сло­же­ния мы по­ни­ма­ли, что ино­гда по­лу­ча­ет­ся сумма дроб­ных ча­стей в виде непра­виль­ной дроби, по­это­му при необ­хо­ди­мо­сти по­лу­чен­ную непра­виль­ную дробь нужно при­во­дить к пра­виль­ной, то есть вы­де­лять целую часть. А при вы­чи­та­нии по­яв­ля­лась такая тон­кость, что не все­гда из дроб­ной части умень­ша­е­мо­го можно вы­честь дроб­ную часть вы­чи­та­е­мо­го, по­это­му нам необ­хо­ди­мо было «за­ни­мать» еди­ни­цу у целой части и пе­ре­во­дить ее в дроб­ную, чтобы по­лу­чить непра­виль­ную дробь, из ко­то­рой уже можно было вы­честь дроб­ную часть.

Источник видео:  http://www.youtube.com/watch?v=vpzGhncogSE

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/matematika/5-klass/drobnye-chisla/slozhenie-i-vychitanie-smeshannyh-chisel?seconds=0&chapter_id=842#videoplayer

 Источник теста: Тесты по математике 5 класс к учебнику Зубаревой И.И., Мордкович А.Г. - Рудницкая В.Н. 2013г.

Файлы

Нет дополнительных материалов для этого занятия.