9 класс. Алгебра. Геометрическая прогрессия.
9 класс. Алгебра. Геометрическая прогрессия.
Комментарии преподавателя
Посмотрев этот видеоурок, пользователи смогут получить представление о теме «Определение и свойства геометрической прогрессии, формула n-го члена». В ходе занятия учитель познакомит с понятием геометрической прогрессии, расскажет о ее свойствах. Кроме того, на уроке будет дана формула n-го члена и будет показано, как правильно применять ее на практике.
Тема: Геометрическая прогрессия
Урок: Определение и свойства геометрической прогрессии, формула n–го члена
1. Тема урока, введение
На уроке дается определение геометрической прогрессии, выводится формула общего члена, решаются типовые задачи.
2. Определение геометрической прогрессии
Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем прогрессии.
Математическая запись.
геометрическая прогрессия, ее члены 
, при этом:
Иная запись:
, т.е. 
.
Рассмотрим примеры геометрических прогрессий:
здесь каждый следующий член получается из предыдущего умножением на 2; полученная последовательность при этом возрастает (
2. 
здесь каждый следующий член получается из предыдущего умножением на 
; полученная последовательность при этом убывает (
3. Формула общего члена
Теперь выведем формулу n–го члена геометрической прогрессии.
Рассмотрим геометрическую прогрессию , при этом
.
Тогда
,
. . . . . . . . . . .
n=1,2,3,…
Докажем полученную формулу методом полной математической индукции.
Дано:геометрическая прогрессия,
.
Доказать:
.
Доказательство.
1. Проверим справедливость формулы дляn =1: 
2. Предположим, что формула справедлива для n=k: 
3. Докажем, что из справедливости формулы для n=k следует справедливость формулы для n=k+1: 
Вывод: формула верна для всех 
4. Построение графиков
Рассмотрим геометрическую прогрессию как функцию натурального аргумента и построим ее график.
Обозначим
, тогда 
, это показательная функция натурального аргумента.
Рассмотрим примеры.
1. 
.
Перейдя к функции, имеем
Составим таблицу значений функции.
|
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
1 |
2 |
4 |
8 |
И построим ее график.
|
Рис. 1.
, поэтому график – это только отдельные точки, которые лежат на показательной кривой.
2. 
;
.
Перейдя к функции, имеем
Составим таблицу значений функции.
|
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
1 |
|
|
|
И построим ее график.
|
Рис. 2
Снова график – это отдельные точки, лежащие на показательной кривой.
Из графиков видно, что если геометрическая прогрессия возрастает, то возрастает очень быстро, а если убывает, то убывает тоже быстро (как показательная функция).
5. Решение задач
Далее рассмотрим типовые задачи, для решения которых понадобится формула общего члена геометрической прогрессии:
1. Дано:геометрическая прогрессия, 
. Найти: 
. Решение: 
Ответ: 
2. Дано:геометрическая прогрессия,
. Проверить, является ли число 1536 членом этой прогрессии, если да, найти его номер. Решение: 
Ответ: 
3. Дано:
геометрическая прогрессия,
. Найти: 
Решение: 
Ответ: 
4. Дано:геометрическая прогрессия,
. Найти: 
Решение: 
Ответ: 
Если известны два члена геометрической прогрессии 
то справедлива формула:
.
Действительно, 
Рассмотрим еще одну задачу.
5. Дано:
геометрическая прогрессия,
. Найти: Решение: 
Ответ: 
нта.
2. Формула суммы
Выведем далее формулу суммы конечного числа членов геометрической прогрессии.
Дано: 
геометрическая прогрессия.
Найти:
Решение:
.
Умножим обе части этого равенства на q:
.
И вычтем из первого равенства второе:
,
,
.
В полученной формуле 
, рассмотрим частный случай
Геометрическая прогрессия 
имеет nравных членов, поэтому ее сумма
Итак,
, при ; 
при 
.
3. Решение задач
Далее рассмотрим типовые задачи, для решения которых понадобится формула суммы членов геометрической прогрессии:
1. Дано:
геометрическая прогрессия, 
. Найти: 
Решение: 
. Ответ: 
2. Дано:геометрическая прогрессия, 
. Найти: 
. Решение: 
Ответ: 
3. «Легенда об изобретателе шахмат». Дано:геометрическая прогрессия, 
. Найти: 
Решение: 
Ответ: 
А теперь легенда. Восточный правитель захотел наградить мудреца за то, что он научил правителя играть в шахматы. Мудрец попросил на первую клетку шахматной доски положить одно зернышко пшеницы, а на каждую следующую в 2 раза больше зерен, чем на предыдущую. Шахматная доска имеет 64 клетки, поэтому общее количество зерен на доске – это сумма 64 членов геометрической прогрессии, у которой . Мы только что нашли, что 
Оказалось, что это число настолько огромно, что у правителя не нашлось столько пшеницы. Возрастающая геометрическая прогрессия возрастает очень быстро и сумма даже не очень большого числа членов – огромное число.
1. Дано:геометрическая прогрессия, 
. Найти: 
Решение: 
Ответ: 
2. Найдите сумму
Решение:Данная сумма является суммой геометрической прогрессии, действительно, 
,отношение не зависит от n, т.е. это геометрическая прогрессия. В этой прогрессии 
, тогда 
. Ответ:
.
3. Докажите тождество
Доказательство: При
тождество справедливо. При 
имеем геометрическую прогрессию (
). В предыдущей задаче мы вычислили
, тогда Тождество доказано.
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/progressii/opredelenie-i-svoystva-geometricheskoy-progressii-formula-n-go-chlena?konspekt&chapter_id=38
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=vl47O6_MPtY