10 класс. Алгебра. Производная. Правило дифференцирования. Типовые задачи.
10 класс. Алгебра. Производная. Правило дифференцирования. Типовые задачи.
Комментарии преподавателя
Правила дифференцирования. Типовые задачи
1. Введение
До сих пор мы находили производные простейших функций, а на этом уроке мы рассмотрим производную суммы, разности, произведения и частного функций.
2. Правила дифференцирования: производная суммы
1. Имеем
Пример.
Дано: ;
найти .
Решение.
1) Найти производную в любой точке
2) .
Первое правило дифференцирования:
Если функции и имеют производную в точке , то и их сумма имеет производную в точке , причем .
2. , где - постоянный множитель.
Примеры.
1)
2)
Второе правило дифференцирования:
Если функция имеет производную в точке , то и функция имеет производную в этой точке, причем выполняется .
Итак, постоянный множитель можно выносить за знак производной.
3. Правила дифференцирования: производная произведения
Иногда это пишут в терминах и , где и – функции, которые зависят от :
.
Пример.
Третье правило дифференцирования.
Производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых: первое слагаемое - это произведение производной первой функции на вторую, а второе слагаемое – это произведение первой функции на производную второй.
4. Правила дифференцирования: производная частного
.
Пример.
Четвертое правило дифференцирования: производная частного выражается по формуле и для данного примера принимает вид (*). В числителе – произведение производной числителя на знаменатель минус проиведение числителя на производную знаменателя; в знаменателе – квадрат знаменателя.
Мы рассмотрели правила дифференцирования.
5. Типовые задачи
Типовыми задачами здесь являются, например, те которые были рассмотрены, а именно, нахождение производных в любой точке или значения производных в конкретной точке.
1. Пример № 2826 a)
Найти , если
Решение.
1) Найти производную в любой точке, пользуясь правилом для производной произведения
Итак, нашли производную в любой точке .
2)
3) Ответ:
Задача может быть поставлена по-другому, например, найти тангенс угла наклона касательной к функции в точке .
Еще одна типовая задача.
Покажем, что верно:
Напомним, что , . Найдем производную и посмотрим, будет она подчиняться формуле или нет.
Таким образом , то есть производная подчиняется правилу. Это не является строгим доказательством. Понятно, что таким образом можно организовать производную пятой, шестой и любой другой степени.
6. Итог урока
На уроке были рассмотрены основные правила дифференцирования и типовые задачи на них.
ИСТОЧНИК
http://x-uni.com/algebra/10-klass/video/pravilo-differentsirovaniya-tipovye-zadachi
http://www.youtube.com/watch?v=nRvqlOoadxI
http://www.youtube.com/watch?v=iBhF3CiRK6Y
http://luebucingay.science/pic-www.mathematics-repetition.com/wp-content/uploads/2013/02/10-3-0.jpg
http://bahmach.garo-gallery.com/imagis/-net-programming-a-practical-guide-using-c-pradeep-tapadiya-1283-small.jpg
http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf