10 класс. Алгебра. Производная. Числовые последовательности и их свойства. Предел числовой последовательности.

Комментарии преподавателя

 Определение функции f(n)

Пусть  – чис­ло­вое мно­же­ство.

Чис­ло­вая функ­ция  – закон, ко­то­рый каж­до­му эле­мен­ту из  со­по­став­ля­ет един­ствен­ное число.

Мно­же­ство  на­зы­ва­ет­ся об­ла­стью опре­де­ле­ния функ­ции .

Чис­ло­вая по­сле­до­ва­тель­ность – это чис­ло­вая функ­ция, у ко­то­рой об­ласть опре­де­ле­ния есть мно­же­ство  всех на­ту­раль­ных чисел.

Чис­ло­вая по­сле­до­ва­тель­ность может быть за­да­на раз­ны­ми спо­со­ба­ми:

1. Ана­ли­ти­че­ский
2. Сло­вес­ный
3. Ре­кур­рент­ный

 Аналитический способ задания числовой последовательности

Необ­хо­ди­мо ука­зать фор­му­лу, по ко­то­рой можно вы­чис­лить любой член по­сле­до­ва­тель­но­сти.

Имеем фор­му­лу , где  

При­мер:

 

Гра­фик по­сле­до­ва­тель­но­сти – это мно­же­ство всех пар , где  про­бе­га­ет все на­ту­раль­ные зна­че­ния.

На­ри­су­ем гра­фик функ­ции  (ри­су­нок 1).

Эта ветвь – ги­пер­бо­ла, и на этой ветви лежат все точки гра­фи­ка нашей по­сле­до­ва­тель­но­сти, если , то и .

Пер­вая точка  вто­рая точка  и т. д.

Рис. 1. Гра­фик функ­ции 

Функ­ция , сле­до­ва­тель­но, .

 Роль нуля в заданной числовой последовательности

Рас­смот­рим мно­же­ство зна­че­ний дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти:

На­ри­су­ем ось , от­ме­тим 1 и 0 на оси , а также зна­че­ния дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти (рис. 2).

Рис. 2.Ось У, на ко­то­рой на­не­се­ны точки чис­ло­вой по­сле­до­ва­тель­но­сти

Мно­же­ство зна­че­ний рас­по­ло­же­но на ин­тер­ва­ле от 0 (не вклю­чая) до 1 (вклю­чая). Дан­ная по­сле­до­ва­тель­ность ме­ня­ет­ся в этих пре­де­лах.

.

По­сле­до­ва­тель­ность огра­ни­че­на свер­ху: .

По­сле­до­ва­тель­ность огра­ни­че­на снизу: .

Верх­няя гра­ни­ца – число 1 до­сти­жи­мо: .

Ниж­няя гра­ни­ца – число 0 не до­сти­жи­мо, но число 0 иг­ра­ет важ­ную роль для дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти, пока что мы видим, что члены по­сле­до­ва­тель­но­сти «сгу­ща­ют­ся».

 Пример числовой последовательности

На­ри­су­ем ось  (рис. 3):

 – по­лу­чи­ли окрест­ность точки 0 (рис. 3). В любой окрест­но­сти точки 0 со­дер­жит­ся хотя бы 1 член дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти. На­чи­ная с этого члена, все осталь­ные члены по­сле­до­ва­тель­но­сти со­дер­жат­ся в –окрест­но­сти.

Рис. 3.Ось у. –окрест­ность точки 0 

При­мер:

; 

 Предел числовой последовательности

Какие точки по­сле­до­ва­тель­но­сти на­хо­дят­ся в –окрест­но­сти?

Это  ; , за­ме­ча­ем, что все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти после 101 на­хо­дят­ся в –окрест­но­сти точки 0, т. е. они как бы «сгу­ща­ют­ся» в точке 0 (рис. 4).

Рис. 4. Ось У, на ко­то­рой на­не­се­ны точки чис­ло­вой по­сле­до­ва­тель­но­сти

Любой, даже один, член по­па­да­ет в – окрест­ность точки 0, а за ним весь осталь­ной хвост по­сле­до­ва­тель­но­сти по­па­да­ет в эту окрест­ность.

Вот это число 0 на­зы­ва­ют пре­де­лом дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти при . За­пись та­ко­ва: .

Можно взять любой , по­лу­ча­ет­ся очень малая окрест­ность точки 0, но, на­чи­ная с неко­то­ро­го но­ме­ра, все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти на­хо­дят­ся в этой –окрест­но­сти точки 0, т. е. мы знаем, что все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти, на­чи­ная с неко­то­ро­го но­ме­ра, при­бли­зи­тель­но равны сво­е­му пре­де­лу, т. е. равны 0.

Как найти, с ка­ко­го но­ме­ра все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти по­ме­ща­ют­ся в за­дан­нойокрест­но­сти?

До­пу­стим, за­да­ли ма­лень­кое число :

Тогда решим нера­вен­ство ; .

При­мер:

Пусть , тогда 

Все члены, на­чи­ная с этого но­ме­ра, уме­ща­ют­ся в дан­ной окрест­но­сти точки 0.

Как бы близ­ко мы ни вста­ли около точки 0 впра­во, все­гда най­дет­ся член, ко­то­рый на­хо­дит­ся еще ближе, и все осталь­ные члены будут ближе к точке 0 (рис. 5). 

Рис. 5.Ось У, на ко­то­рой на­не­се­ны точки чис­ло­вой по­сле­до­ва­тель­но­сти

 Определение  предела последовательности yn

Число  на­зы­ва­ют пре­де­лом по­сле­до­ва­тель­но­сти , если в любой за­ра­нее вы­бран­ной окрест­но­сти точки  со­дер­жат­ся все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти, на­чи­ная с неко­то­ро­го но­ме­ра (рис. 6).

Рис. 6. Пре­дел по­сле­до­ва­тель­но­сти 

, члены по­сле­до­ва­тель­но­сти (вы­де­ле­ны крас­ным), в окрест­ность по­па­да­ют все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти, на­чи­ная с неко­то­ро­го но­ме­ра , такой номер обя­за­тель­но су­ще­ству­ет. При за­дан­ном  весь хвост на­хо­дит­ся в окрест­но­сти точки  и это для лю­бо­го, сколь угод­но ма­ло­го .

Мы вы­яс­ни­ли, что все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти, на­чи­ная с неко­то­ро­го но­ме­ра, при­мер­но равны сво­е­му пре­де­лу.

 Свойства предела

Су­ще­ству­ет ли пре­дел у вся­кой по­сле­до­ва­тель­но­сти?

По­сле­до­ва­тель­ность    .

Если по­сле­до­ва­тель­ность имеет пре­дел, она схо­дит­ся, все члены схо­дят­ся к этому пре­де­лу.

Если по­сле­до­ва­тель­ность не имеет пре­де­ла, то ее на­зы­ва­ют рас­хо­дя­щей­ся.

 Теорема Вейерштрасса, примеры применения теоремы

Тео­ре­ма: если по­сле­до­ва­тель­ность мо­но­тон­на и огра­ни­че­на, то она схо­дит­ся.

При­мер 1 при­ме­не­ния тео­ре­мы Вей­ер­штрас­са (рис. 7).

Функ­ция  мо­но­тон­на (она убы­ва­ет), эта функ­ция огра­ни­чен­на (она рас­по­ло­же­на на ин­тер­ва­ле 0 не вклю­чая, 1 вклю­чая).

Зна­чит, по тео­ре­ме Вей­ер­штрас­са она схо­дит­ся.

 – схо­дит­ся, т. е. имеет пре­дел 

Рис. 7. Пер­вый при­мер при­ме­не­ния тео­ре­мы Вей­ер­штрас­са

Вто­рой при­мер при­ме­не­ния тео­ре­мы Вей­ер­штрас­са (рис. 8).

;  

Все точки  лежат на ги­пер­бо­ле , эти точки неогра­ни­чен­но при­бли­жа­ют­ся к пря­мой .

Рис. 8. Вто­рой при­мер при­ме­не­ния тео­ре­мы Вей­ер­штрас­са

Пре­дел дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти равен 1, это озна­ча­ет, что при боль­ших зна­че­ни­ях  все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти, на­чи­ная с неко­то­ро­го но­ме­ра, при­мер­но равны 1 или на­хо­дят­ся в любой окрест­но­сти в точке 1.

Вывод
Мы по­зна­ко­ми­лись с важ­ным по­ня­ти­ем чис­ло­вой по­сле­до­ва­тель­но­сти, изу­чи­ли ана­ли­ти­че­ский спо­соб за­да­ния чис­ло­вой по­сле­до­ва­тель­но­сти, рас­смот­ре­ли тео­ре­му Вей­ер­штрас­са, при­ве­ли при­ме­ры.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/chslovye-posledovatelnosti-i-ih-svoystva-predel-posledovatelnosti

http://www.youtube.com/watch?v=Zb9aH6_GumM

http://www.youtube.com/watch?v=sQvrx6UFmf0

http://www.youtube.com/watch?v=HEvzvBkrXKI

http://nsportal.ru/sites/default/files/2012/11/23/predel.pptx

http://semenova-klass.moy.su/_ld/1/123_123_7iY.pptx

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

 

Файлы