10 класс. Алгебра. Производная. Примеры вычисления основных производных. Таблица производных. Типовые задачи.

Примеры вычисления производных.

ДАЛЬШЕ

Примеры вычисления производных.

Комментарии преподавателя

Примеры вычисления производных. Функция f(x)=x^3. Типовые задачи.

1. Краткое повторение темы предыдущего занятия

На предыдущем уроке мы рассмотрели понятие производной и рассмотрели алгоритм нахождения производной. Он предусматривал: дать приращение аргументу, вычислить приращение функции, вычислить отношение , упростить, проанализировать, устремить к нулю и найти производную. Это было в общем виде, а теперь этот алгоритм рассмотрим на примере конкретных функций.

2. Функция f(x)=x^3

Пример 1 Дано:

Найти .

Зафиксируем точку и найдем значение производной от конкретной функции в конкретной точке. Действуем по алгоритму.

1)Вычисляем значение . Иллюстрируем все это графиком.

Кубическая парабола.

Рис. 1. Кубическая парабола.

Зафиксировав точку , вычислим значение функции в этой точке. Получим .

2) Даем аргументу приращение ,получаем - новое значение аргумента.

Примечание. В данном случае приращение положительное. Можно дать приращение отрицательное, тогда функция будет либо увеличиваться, либо уменьшаться. Важно, что –любое.

3) Вычислить значение функции в новой точке , подставив эту точку в функцию.

.

4) Найдем , то есть разность между значением функции в новой точке минус значение функции в старой точке.

.

Имеем две точки: значение аргумента и значение функции в точке , новое значение аргумента и значение функции при новом значении аргумента. Разность этих значений функции дает .

5) Найдем разностное отношение

.

Знаменатель для всех функций один и тот же, - приращение аргумента, а числитель – свой для каждой функции. Получили разностное отношение. Далее надо упростить его, сократить на и сделать дальнейший анализ.

Упрощать в данном случае можно по-разному. Можно применить формулу или куб суммы, или разность кубов. Напомним, что

. В данном случае - это , - это . Имеем

Раскрывая скобки, получили многочлен. Приведем подобные члены. Дальше надо преобразовать так, чтобы сократить. Вынесем за скобки, получим Теперь можно сократить на , ведь , оно не равно нулю. Имеем соотношение следующего вида

. Осталось узнать, что происходит, когда . В данном случае второй член выражения пропадет, и третий член пропадет. Останется , то есть .

Результат

, то есть смысл такой: 3 выносим как сомножитель и показатель уменьшили на единицу.

Итак, зафиксировали точку , нашли производную от конкретной функции в конкретной точке . Точка может быть любая.

Ответ: .

Итак, мы зафиксировали функцию - кубическую параболу. Была задача: найти производную этой функции в конкретной точке . Мы зафиксировали точку и действовали по алгоритму, который был изложен в общем виде, и применен к данной функции. Этот алгоритм можно применять к любой функции, а именно: вычислить значение функции в точке , подставив значение в закон соответствия, то есть в функцию, дать приращение аргумента, найти значение функции при новом значении аргумента и получить приращение функции, то есть разность между значениями функции в новой точке и старой. Далее, надо найти разностное отношение , упростить его так, чтобы вынести за скобку и сократить на . В результате получится выражение, члены которого зависят от и не зависят от него. Если члены, которые зависят от прямо пропорциональны ему, то они при стремятся к нулю, то есть пропадают. Остаются только члены, которые не зависят от . Таким образом получим значение производной.

Для знакомых с пределами .

Важно понять, что есть члены с члены и члены без . При этом члены с пропадают, остается то, что называется производной.

Итак, производная от кубической функции в любой точке - это .

3. Типовые задачи

Возьмем конкретный пример.

Дано:

Найти: , то есть конкретное значение функции в точке .

Решение.

1) Найти производную в любой точке . .

2) Найти . .

Физический и геометрический смысл решения задачи.

В момент , если двигаться (уезжать от дома) по закону , скорость равна 12. Если к этой кривой мы проведем касательную в точке , то эта касательная имеет угол наклона (см.рис.2). Так вот . Это говорит о том, что угол довольно большой, так как растет быстро (от дома мы уезжаем довольно быстро). Более того, чем дальше, тем быстрее скорость.

Физический и геометрический смысл решения задачи

Рис. 2. Физический и геометрический смысл решения задачи.

4. Итог урока

Итак, рассмотрено подробное применение общего алгоритма нахождения производной для конкретной функции. Детализировано подробно каждое действие, решили одну из типовых задач, а именно, как находить значение производной функции в конкретной точке. Для этого нужно найти значение функции в произвольной точке, а потом найти значение производной в конкретной точке.

5. Таблица производных

Дифференцирование функций «с нуля», т. е. исходя из определения производной и теории пределов – вещи достаточно трудоёмкая. Поэтому математики вычислили производные элементарных функций. Получилась таблица производных, где всё уже готово.

Производные некоторых элементарных функций:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Доказательство формулы (√x)Ꞌ=1/(2√x)

Дано:

Доказать:

Доказательство

Изобразим график функции: (см. Рис. 1). Зафиксируем точку и приращение аргумента . Получаем новое значение аргумента и, соответственно, новое значение функции . То есть при переходе от значения аргумента к значения функции изменяются соответственно от до . Значение функции в новой точке равно .

Получили прямоугольный треугольник (выделен красным цветом), катетами которого являются два приращения – приращение аргумента () и приращение функции (– разность между значением функции в новой точке и значением функции в старой точке).

Рис. 1. Иллюстрация к доказательству

Найдём отношение :

Умножим числитель и знаменатель на выражение :

В числителе получили выражение разности квадратов:

Следовательно:

Проанализируем данное выражение при :

– произвольное допустимое число, поэтому:

Что и требовалось доказать.

Задача 1

Дано:

Найти:

Решение

1. Найдём производную в любой точке :

2. Найдём производную в заданной точке:

Как известно, это значение является тангенсом угла наклона касательной к кривой , проведённой в точке с абсциссой 4 (см. Рис. 2):

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Ответ:

Доказательство формулы (sinx )Ꞌ=cosx

Дано:

Доказать:

Доказательство

На рисунке 3 показано, каким образом ведёт себя функция . Зафиксируем точку и приращение аргумента . Получаем новое значение аргумента (новую точку) . При переходе от значения аргумента к значения функции изменяются соответственно от до .

Рис. 3. Иллюстрация к доказательству

Найдём отношение :

Для упрощения этого выражения используем формулу разности синусов:

При :

Объясним это, рассмотрев тригонометрический круг с радиусом 1 и угол, равный (см. Рис. 4). Нам необходимо найти длину дуги и длину хорды .

Рис. 4. Иллюстрация к доказательству

Длина дуги равна произведению радиуса на центральный угол:

Радиус равен 1, поэтому длина дуги численно равна центральному углу, который равен . Следовательно:

Хорда состоит из двух катетов треугольников и , которые равны произведению гипотенузы (единица, так как это радиус) на синус противолежащего угла. Следовательно:

При длина дуги стремится к длине хорды:

То есть при маленьком угле дуга и хорда по длине неразличимы.

Таким образом, домножив выражение на 2, получаем выражение , которое есть отношение длины хорды к длине дуги:

Но так как , то:

Следовательно, при :

Поэтому:

Что и требовалось доказать.

Задача 2

Дано:

Найти:

Решение

1. Найдём производную в любой точке :

2. Найдём производную в заданной точке:

Ответ: .

Задача 3

Дано:

Найти: тангенс угла наклона касательной к кривой в точках: а) ; б) ; в)

Решение

На рисунке 5 показана иллюстрация к задаче. Изображена синусоида, к точке кривой с абсциссой проведена касательная, которая образует угол с осью . Тангенс данного угла необходимо найти. Также необходимо найти тангенс угла, который образовывается при пересечении оси абсцисс с касательной, проведённой к точке кривой с абсциссой 0 и .