10 класс. Алгебра. Производная. Дифференцирование сложной функции.

Комментарии преподавателя

 1. Дифференцирование сложной функции. Примеры

Слож­ную функ­цию мы уже  диф­фе­рен­ци­ро­ва­ли, но ар­гу­мен­том слу­жи­ла ли­ней­ная функ­ция, а имен­но, умеем диф­фе­рен­ци­ро­вать функ­цию . На­при­мер, . Сей­час таким же об­ра­зом будем на­хо­дить про­из­вод­ные от слож­ной функ­ции, где вме­сто ли­ней­ной функ­ции может быть дру­гая функ­ция.

Нач­нем с функ­ции

1. 

Итак, нашли про­из­вод­ную си­ну­са от слож­ной функ­ции, где ар­гу­мен­том си­ну­са была квад­ра­тич­ная функ­ция.

2. .

Если надо будет найти зна­че­ние про­из­вод­ной в кон­крет­ной точке, то эту точку нужно под­ста­вить в най­ден­ную про­из­вод­ную.

Итак, на двух при­ме­рах уви­де­ли, как ра­бо­та­ет пра­ви­ло диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния слож­ной функ­ции.

 2. Таблица производных сложных функций

1. 

2. 

3. . На­пом­ним, что .

При­мер. .

4. .

При­мер. .

5. 

6. 

7. 

8. .

Таким об­ра­зом, таб­ли­цу диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния слож­ных функ­ций, на дан­ном этапе, за­кон­чим. Даль­ше, ко­неч­но, она будет еще боль­ше обоб­щать­ся, а сей­час пе­рей­дем к кон­крет­ным за­да­чам на про­из­вод­ную.

 3. Задача из практики подготовки к ЕГЭ

В прак­ти­ке под­го­тов­ки к ЕГЭ пред­ла­га­ют­ся сле­ду­ю­щие за­да­чи.

Найти ми­ни­мум функ­ции .

Ре­ше­ние.

ОДЗ:   .

Най­дем про­из­вод­ную . На­пом­ним, что , .

При­рав­ня­ем про­из­вод­ную к нулю   . Точка  - вхо­дит в ОДЗ.

Най­дем ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства про­из­вод­ной (ин­тер­ва­лы мо­но­тон­но­сти функ­ции) (см. рис.1).

Рис. 1. Ин­тер­ва­лы мо­но­тон­но­сти для функ­ции .

Рас­смот­рим точку  и вы­яс­ним, яв­ля­ет­ся ли она точ­кой экс­тре­му­ма. До­ста­точ­ный при­знак экс­тре­му­ма за­клю­ча­ет­ся в том, чтобы про­из­вод­ная при пе­ре­хо­де через точку  ме­ня­ет знак. В дан­ном слу­чае про­из­вод­ная ме­ня­ет знак, зна­чит, - точка экс­тре­му­ма. Так как про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с «-» на «+», то  - точка ми­ни­му­ма. Най­дем зна­че­ние функ­ции в точке ми­ни­му­ма: . На­ри­су­ем схему (см. рис.2).

Рис.2. Экс­тре­мум функ­ции .

На про­ме­жут­ке  - функ­ция убы­ва­ет, на  - функ­ция воз­рас­та­ет, точка экс­тре­му­ма един­ствен­ная. Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ция при­ни­ма­ет толь­ко в точке .

Ответ: .

 4. Итог урока

На уроке рас­смот­ре­ли  диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние слож­ных функ­ций, со­ста­ви­ли таб­ли­цу и рас­смот­ре­ли пра­ви­ла диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния слож­ной функ­ции, при­ве­ли при­мер при­ме­не­ния про­из­вод­ной из прак­ти­ки под­го­тов­ки к ЕГЭ.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/differentsirovanie-slozhnyh-funktsiy-zadacha-iz-praktiki-podgotovki-k-ege-po-matematike

http://www.youtube.com/watch?v=2myuElRhSwA

http://www.youtube.com/watch?v=q1mWJb8IUcI

http://crossfitkidslakehighlands.com/wp-admin/css/ghjbpdjlyfz-jykfqy-i3.gif

http://www.mathprofi.ru/proizvodnaya_slozhnoi_funkcii.html

http://www.matematika.uznateshe.ru/proizvodnaya-slozhnoj-funkcii-primery/

http://vseuchebniki.net/uploads/posts/2015-01/1422313744_algebra_10-11_mordkovich_p2_2009.jpg

http://cdndl.zaycev.net/117190/12852/didyulya_-_put_domoy_(zaycev.net).mp3

Файлы