10 класс. Геометрия. Аксиомы стереометрии и их следствия - теория
10 класс. Геометрия. Аксиомы стереометрии и их следствия - теория
Комментарии преподавателя
1. Напоминание аксиом стереометрии
Аксиома 1 (А1)
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Аксиома 2 (А2)
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
Аксиома 3 (А3).
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
2. Решение задачи
Рис. 1.
Дано: ABCD – плоский четырехугольник, (Рис. 1.)
Требуется:
Найти прямую пересечения плоскостей МАВ и МВС.
Решение:
Итак, дана плоскость четырехугольника АВСD, т.е. АВСD – плоский четырехугольник. Все вершины лежат в одной плоскости. Точка М не лежит в плоскости этого четырехугольника. Надо найти прямую пересечения плоскостей МАВ и МВС.
И точка М, и точка В принадлежат и плоскости МАВ, и плоскости МВС.
Значит, МВ искомая линия пересечения, . Посмотрим на Рис. 1. МВА – одна плоскость. МВС – вторая плоскость. МВ – линия их пересечения.
Ответ: прямая МВ.
3. Теорема 1 и ее доказательство
Рис. 2.
Дано:
Прямая , .
Доказать:
1) Существует плоскость .
2) Плоскость единственна
Доказательство первого пункта:
Докажем, что существует плоскость . На прямой Выберем любые две точки Р и Q: . Тогда имеем 3 точки – Р, Q, M, которые не лежат на одной прямой.
По аксиоме А1, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна, т.е. плоскость , которая содержит и прямую , и точку М, существует.
Доказательство второго пункта:
Следует доказать единственность такой плоскости.
Предположим, что существует иная плоскость , которая проходит и через точку М, и через прямую . Например, это будет плоскость, проходящая через точки , прямой , и точку . Но тогда эта плоскость проходит и через прямую , и через точку М, а значит, и через точки Р, Q, M. А через три точки Р, Q, M, не лежащие на одной прямой, в силу 1 аксиомы, проходит только одна плоскость. Значит, эта плоскость совпадает с плоскостью . Значит, единственность доказана. Вся теорема доказана.
4. Теорема 2 и ее доказательство
Рис. 3.
Дано:
Доказать:
1) Существует плоскость .
2) Такая плоскость единственна.
Доказательство:
На прямой b возьмем точку N, которая не совпадает с точкой М, то есть .
Тогда имеем точку N, которая не принадлежит прямой . По предыдущей теореме, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость. Назовем ее плоскостью . Значит, такая плоскость, которая проходит через прямую и точку N, существует. Но эта плоскость также проходит и через всю прямую b, так как две точки М и N прямой b лежат в этой плоскости. То есть и прямая и прямая b принадлежат плоскости Значит, существует такая плоскость, которая проходит через две пересекающиеся прямые, что и требовалось доказать в первом пункте.
Докажем единственность этой плоскости.
Предположим противное. Пусть существует иная плоскость , такая, которая проходит и через прямую , и через прямую b. Но тогда она также проходит и через прямую , и точку N. Но по предыдущей теореме эта плоскость единственна, т.е. плоскость совпадает с плоскостью .
Значит, мы доказали существование единственной плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.
5. Решение задачи 1
Рис. 4.
Дано: – куб
Какой плоскости принадлежат отрезок АВ и точка ?
Решение:
Способ 1
Через прямую АВ и точку можно провести плоскость, и притом только одну, в силу теоремы 1.
Способ 2
– прямая, точка В не лежит на этой прямой. Значит, через прямую и точку В можно провести плоскость, и притом только одну, то есть плоскость .
Способ 3
Рассмотрим две пересекающиеся прямые АВ и .
В силу теоремы 2, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Это плоскость .
Способ 4
В силу 1 аксиомы, через 3 точки А, В, , не лежащие на одной прямой проходит единственная плоскость .
Ответ: отрезок АВ и точка принадлежат плоскости .
6. Решение задачи 2
Найдите прямую пересечения плоскостей и .
Решение:
И точка и точка входят и в плоскость и в плоскость . То есть, обе точки и одновременно лежат в двух плоскостях и является линией их пересечения:
Ответ:
7. Решение задачи 3
Какие плоскости пересекаются в точке А?
Мы знаем, что если две плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой. Другие две плоскости тоже могут пересекаться по прямой. А эти две прямые, если пересекаются, то дают точку.
Нужно узнать, какие плоскости содержат точку А
Во-первых, это плоскость АВС, т.е. плоскость нижней грани АВСD(но для названия плоскости достаточно 3 точек, не лежащих на прямой). Итак, первая плоскость – нижнее основание АВС.
Вторая плоскость , или . Третья плоскость . Все 3 плоскости содержат точку А. Пересечением этих трех названных плоскостей является точка А.
Ответ:
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/aksiomy-stereometrii-i-ih-sledstviya/nekotorye-sledstviya-iz-aksiom?seconds=0&chapter_id=209
https://www.youtube.com/watch?v=I3O4QGgo6to
http://goodzel.ru/testy_po_teme_aksiomy_stereometrii_i_sledstviya_iz_nih_10kl_/170/article
http://900igr.net/kartinki/geometrija/Aksiomy-geometrii/001-Aksiomy-stereometrii.html
http://www.youtube.com/watch?v=ntGjMpEczAk