10 класс. Геометрия. Решение задач на применение аксиом и их следствий
10 класс. Геометрия. Решение задач на применение аксиом и их следствий
Комментарии преподавателя
1. Напоминание аксиом стереометрии
Аксиома 1 (А1)
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Иллюстрация аксиомы А1.
Рис. 1.
Рассмотрим три точки: А, В, С, точка С не принадлежит прямой АВ: (Рис. 1.). Тогда через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость , и притом только одна. Плоскость можно также обозначить через три точки АВС.
Аксиома 2 (А2)
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
Иллюстрация аксиомы А2.
Рассмотрим плоскость , точки А, В прямой принадлежат плоскости (Рис. 2.).
Рис. 2.
Аксиома утверждает – все точки прямой (прямой АВ) принадлежат плоскости , т.е. вся прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую .
Аксиома 3 (А3).
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (плоскости пересекаются по прямой).
Иллюстрация аксиомы А3.
Имеем разные плоскости: плоскость , плоскость . Известно, что они имеют общую точку М, точка М принадлежит плоскости и плоскости . (Рис. 3.)
Рис. 3.
Третья аксиома утверждает, что они имеют прямую, на которой лежат все их общие точки. Прямую мы обозначили за l, т.е. плоскости и пересекаются по прямой l, проходящей через точку М.
2. Напоминание теорем, которые следуют из аксиом стереометрии
Из этих аксиом вытекают две важные теоремы.
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Иллюстрация теоремы 1.
Рис. 4.
Даны прямая а и точка М, не лежащая на данной прямой (Рис. 4.). Теорема утверждает, что существует такая единственная плоскость , которая проходит и через прямую а, и через точку М, и что эта плоскость – единственная. Это можно записать таким образом:
единственная
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Иллюстрация теоремы 2.
Рис. 5.
Даны прямые а и b, они пересекаются, т.е. имеют единственную общую точку М (Рис. 5.). Теорема утверждает, что существует единственная плоскость – такая, которая проходит и через прямую а, и через прямую b, что можно записать таким образом:
3. Решение задачи 1
Дана треугольная пирамида АВСD (Рис. 6.). Найти, по какой прямой пересекаются: а) плоскости АВD и АСК
б) плоскости АDС и МВС
в) плоскости ВDК и АDС
г) плоскости МDN и АВD
Рис. 6.
а) В этом пункте речь идет о двух плоскостях АВD и АСК. Что такое, плоскость АВD - понятно, это плоскость грани. А что такое плоскость АСК? Здесь надо понять, что это плоскость АВС, только по-другому названная, так как точка К лежит на прямой ВN. Ее пересекает прямая АС, а через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Вот названия этой одной и той же плоскости: АВС, АМС, АLC, АСК. Итак, в этом пункте на самом деле речь идет о пересечении плоскостей АВD и АВС. Эти плоскости пересекаются по прямой АВ, потому что и точка А, и точка В принадлежат двум плоскостям - АВD и АВС.
Ответ: АВ.
Напоминание: Для названия плоскости нужно иметь только три точки, которые не лежат на одной прямой.
б) Найти, по какой прямой пересекаются плоскости АDС и МВС.
Плоскость АDС – это боковая грань пирамиды АDС. Рассмотрим, что собой представляет плоскость МВС. Три точки: и М, и В, и С – лежат в плоскости нижнего основания АВС. Так что плоскость МВС – это плоскость АВС. Значит, линией пересечения является прямая АС, потому что и точка А, и точка С лежат одновременно в двух плоскостях АВС и АDС.
Ответ: АС.
в) Плоскость ВDК совпадает с плоскостью ВDN. И в плоскости ВDN и в плоскости АDС содержатся и точка D, и точка N. Значит, линия пересечения двух плоскостей – прямая DN.
Ответ: DN
г) Обе плоскости МDN и АВD содержат и точку М и точку D. Значит, их линия пересечения – прямая DМ.
Ответ: DМ.
Предыдущая серия задач на треугольную пирамиду касалась пересечения различных двух плоскостей. Следующие задачи будут посвящены пересечению трех плоскостей.
4. Решение задачи 2
Дана треугольная пирамида АВСD (Рис. 6.). Назовите три разные плоскости, которым принадлежат:
а) точка А
б) точка В
в) точка N
Ответ:
а) АВD, АСD, АВС.
б) ВАС, ВАD, ВСD.
в) NВD, АВС, NМD.
а) Точка А принадлежит следующим трем различным плоскостям: АВD – первая плоскость, АСD – вторая плоскость и АВС – третья плоскость.
Пояснение: означенные три плоскости попарно пересекаются. Пересечение двух плоскостей есть прямая линия, пересечение вторых двух плоскостей – прямая линия. Значит, пересечение всех трех плоскостей – это точка А.
б) Аналогично точка В принадлежит следующим плоскостям: ВАС – нижней грани, ВАD – одной боковой грани и ВСD – второй боковой грани. Это вершина пирамиды. Здесь три плоскости очевидны.
в) Точка N– это внутренняя точка отрезка АС. Каким трем различным плоскостям принадлежит точка N?
Первая плоскость – NВD, вторая плоскость – АВС и третья плоскость – NМD. Вот три различные плоскости, которые пересекаются в точке N.
5. Решение задачи 3
Дана треугольная пирамида АВСD (Рис. 6). Через середины N, М, L сторон треугольника АВС проведена плоскость.
Совпадает ли она с плоскостью треугольника?
Решение:
Рассмотрим плоскость АВС. Точка М принадлежит этой плоскости, потому что этой плоскости принадлежит вся прямая АВ, на которой лежит точка М. Аналогично заключаем, что точка N принадлежит плоскости треугольника и точка L принадлежит плоскости треугольника. Через три точки М, L и N можно провести единственную плоскость. Через три точки А, В, С тоже можно провести единственную плоскость. И эта плоскость одна и та же.
Ответ: совпадает.
6. Решение задачи 4
Дана треугольная пирамида АВСD (Рис. 7.).
Рис. 7.
Каково взаимное расположение плоскостей, проходящих через прямые:
а) АВ и ВС, СD и ВС;
б) АВ и ВС, АD и СD?
Решение:
а) По теореме 2, через две пересекающиеся прямые АВ и ВС, проходит плоскость, и притом только одна. Это плоскость АВС. Через вторые две пересекающиеся прямые СD и ВС также по теореме 2 проходит плоскость, и притом только одна. Это плоскость ВСD. Они пересекаются по прямой ВС.
Ответ: плоскости пересекаются по прямой ВС.
б) АВ и ВС, две прямые, которые пересекаются в точке В. Через них проходит единственная плоскость, плоскость АВС.
АD и СD – две прямые, которые пересекаются в точке D, значит, через них, через прямые АD и СD проходит единственная плоскость АDС. Эти плоскости пересекаются по прямой АС, так как точка А принадлежит обеим плоскостям и точка С принадлежит обеим плоскостям.
Ответ: плоскости пересекаются по прямой АС.
7. Итоги урока
Итак, стереометрия помогла нам в решении задач в треугольной пирамиде.
Далее мы применим те же знания для решения задач в параллелепипеде.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/aksiomy-stereometrii-i-ih-sledstviya/reshenie-zadach-na-primenenie-aksiom-i-ih-sledstviy-v-piramide?seconds=0&chapter_id=209
http://www.youtube.com/watch?v=Yc7YTqFp2Z8
http://www.youtube.com/watch?v=UhLvBlHkias
http://www.youtube.com/watch?v=QGVG68Qc8Js
http://pandia.ru/text/78/287/91594.php
http://lib5.podelise.ru/docs/56400/index-9427.html