10 класс. Геометрия. Понятие вектора. Равенство векторов.

Комментарии преподавателя

Понятие вектора, основные связанные понятия

С понятием вектора на плоскости мы уже сталкивались. Мы говорили, что есть такие величины, для которых важно не только численное значение, но и направление, например, сила, скорость и т. д. Такие величины мы называли векторными или просто векторами. В математике вектор изображается в виде направленного отрезка. То есть, если задан отрезок  и сказано, что точка  – его начало, а  – конец, то говорят, что задан вектор  или вектор :

Рис. 1. Вектор 

Определение

Вектором называется направленный отрезок, он имеет направление и величину.

Длина вектора соответствует длине отрезка, задающего этот вектор.

Теперь нужно ввести некоторые понятия, а именно: какие вектора называются равными, ввести операции сложения, вычитания, умножения на число и т. д.

Теперь введем второй вектор , обозначим его как вектор :

Рис. 2. Коллинеарные векторы  и 

Если прямые  и  параллельны (или совпадают), то векторы  и  коллинеарны.

Коллинеарные векторы могут быть противонаправлены:  (рис. 2) или сонаправлены ().

Определение

Равными называются коллинеарные сонаправленные векторы, длины (модули) которых равны.

Имеем вектор  и вектор :

Рис. 3. Равные векторы

Заданные векторы равны, т. к. они коллинеарны, сонаправлены и их длины равны: 

Существует также нулевой вектор (), т. е. вектор нулевой длины, он изображается точкой.

Проводя аналогию с числами: мы знали число  и противоположное ему число , это были такие числа, сумма которых равна нулю:

Аналогичное понятие существует и для векторов (рис. 4).

Рис. 4. Противоположные векторы

Задана точка  и два вектора:  и . Эти векторы имеют одинаковую длину (), принадлежат одной прямой – коллинеарны – и противонаправлены. Такие векторы в сумме составляют нулевой вектор:

Кроме того:

С физической точки зрения это можно представить следующим образом: если с равной силой тянуть предмет одновременно в две противоположные стороны, то он никуда не сдвинется.

Перейдем к векторам в пространстве. Рассмотрим задачу.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/vektory-v-prostranstve/ponyatie-vektora-ravenstvo-vektorov

http://www.youtube.com/watch?v=ICwchGItv_A

http://www.youtube.com/watch?v=bYEnByZUm04

http://www.youtube.com/watch?v=KYaz65dkg2c

http://v.5klass.net/zip/57bddfe89e626d9d10ec396f887885ec.zip

http://www.mathprofi.ru/vektory_dlya_chainikov.html

http://www.bookle.ru/cover/223895.jpg

Файлы