10 класс. Геометрия. Многогранники. Площадь поверхности пирамиды. Решение задач по теме
10 класс. Геометрия. Многогранники. Площадь поверхности пирамиды. Решение задач по теме
Комментарии преподавателя
http://ppt4web.ru/geometrija/pravilnaja-piramida1.html1. Пирамида, основные понятия и элементы
Вспомним понятие n-угольной пирамиды. Она получается следующим образом: в плоскости лежит n-угольник с вершинами и т. д. Вне плоскости лежит точка Р. Точка Р соединяется с вершинами n-угольника – получаем пирамиду (рисунок 1).
Рис. 1. Пирамида
Определение.
Многогранник , составленный из n-угольника и n треугольников , … называется пирамидой.
Площадь поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания:
2. Площадь основания пирамиды, площади основных правильных многоугольников
Рассмотрим нахождение площади основания правильной n-угольной пирамиды. Правильный n-угольник, как нам известно, имеет равные стороны и равные внутренние углы. Решим следующую задачу: для n-угольника с заданной длиной стороны () и количеством углов (n) найти площадь (рисунок 2).
Рис. 2. Нахождение площади n-угольника
Рассмотрим треугольник , в нем найдем угол . Таких углов всего n штук, значит:
Половина этого угла, угол .
Треугольник , где М – середина стороны , прямоугольный. В нем ОМ – радиус вписанной в n-угольник окружности, – радиус описанной окружности. Поскольку у нас задан по условию катет рассматриваемого прямоугольного треугольника () и мы нашли острый угол (), то по соотношениям в прямоугольном треугольнике мы легко найдем все остальные элементы.
Чтобы найти площадь n-угольника, нужно сложить n площадей треугольников вида . Чтобы найти площадь этого треугольника, найдем катет ОМ прямоугольного треугольника :
Площадь треугольника определяется по формуле:
Теперь получим площадь всего n-угольника:
Рассмотрим наиболее распространенные частные случаи:
Площадь правильного треугольника:
Площадь квадрата:
Площадь правильного шестиугольника:
Чтобы нарисовать правильный шестиугольник, удобно пользоваться следующим алгоритмом (рисунок 3):
Построить окружность (зеленая пунктирная линия) Провести диаметр (синяя пунктирная линия) Отметить середины радиусов построенного диаметра Провести через середины перпендикуляры (красные пунктирные линии) Получены вершины шестиугольника – построить шестиугольник.
Рис. 3. Правильный шестиугольник
Чтобы найти площадь правильного шестиугольника действуем стандартным методом. Рассматриваем треугольник АОС, в нем находим угол ∠АОВ, таких углов шесть, имеем:
Поскольку отрезки ОА и ОВ равны, то углы ∠ОАВ и ∠ОВА также составляют по . Так, рассматриваемый треугольник правильный. Его площадь нам известна:
Площадь шестиугольника состоит из шести таких площадей:
3. Площадь боковой поверхности пирамиды
Рассмотрим нахождение площади боковой поверхности правильной пирамиды.
Где – периметр основания; – апофема.
Определение.
Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.
Задача 1
В правильной треугольной пирамиде известна сторона основания и высота. Найти площадь боковой поверхности.
Решение. Проиллюстрируем условие задачи:
Рис. 4. Иллюстрация к задаче 1
Задана правильная пирамида с вершиной Р и основанием АВС. РН – высота пирамиды, РО – апофема. Сторона основания равняется . высота равняется . Высота и сторона основания полностью задают правильную пирамиду.
По вышеприведенной формуле для того, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, необходимо найти ее апофему и полупериметр основания. Периметр основания нам известен, так как задана сторона основания. Найдем апофему из прямоугольного треугольника РНО. Один из катетов задан по условию – . Найдем второй катет ОН, он соответствует радиусу вписанной в треугольник окружности, формула нам известна:
Найдем апофему по теореме Пифагора:
Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды:
4. Связь площади треугольника с площадью его проекции
Площадь боковой поверхности и площадь основания пирамиды связаны через величину двугранного угла при основании.
5. Решение задач
Задача 2
РН – перпендикуляр к плоскости треугольника АВН. Из точки Н опущен перпендикуляр НМ к прямой АВ. . Доказать:
Решение. Проиллюстрируем условие:
Рис. 5. Иллюстрация к задаче 2
Треугольник АВН – это проекция треугольника АВР. Нужно доказать, что площадь проекции есть площадь исходного треугольника на косинус двугранного угла между ними. Поскольку НМ – перпендикуляр к АВ, то и РМ – перпендикуляр к АВ по теореме о трех перпендикулярах. Значит, угол – это линейный угол двугранного угла с ребром АВ. АВР – часть боковой поверхности, АВН – часть основания.
Найдем отношение площадей интересующих нас треугольников:
Рассмотрим прямоугольный треугольник РНМ. В нем РМ – гипотенуза, НМ – катет, прилежащий к заданному углу . Отсюда заключаем:
Что и требовалось доказать.
Задача 3
Доказать для правильной треугольной пирамиды: , где – угол наклона боковой грани к основанию.
Решение. Проиллюстрируем условие:
Рис. 6. Иллюстрация к задаче 3
Задана правильная треугольная пирамида РАВС с основанием АВС и вершиной Р. – линейный угол двугранного угла с ребром АВ, точкой Р в одной плоскости и точкой С в другой плоскости.
Очевидно, что угол наклона боковой грани к основанию пирамиды одинаков для всех боковых граней, то есть если и – середины отрезков ВС, АС и АВ соответственно, то: .
В задаче 2 мы доказали: .
Аналогично:
Выполним сложение полученных выражений.
Что и требовалось доказать.
Задача 4
Боковые грани пирамиды РАВС наклонены к основанию под одним и тем же углом . Докажите, что вершина пирамиды Р проектируется в центр О вписанной в треугольник АВС окружности и что .
Решение. Проиллюстрируем условие задачи:
Рис. 7. Иллюстрация к задаче 4
Пусть РО – высота пирамиды. Найдем место расположения точки О. Из точки О опустим перпендикуляры к сторонам треугольника АВС – .
Поскольку – перпендикуляр к АВ, то по теореме о трех перпендикулярах . Аналогично: и . Тогда – линейный угол двугранного угла при ребре АВ, – линейный угол двугранного угла при ребре ВС, – линейный угол двугранного угла при ребре АС. По условию . Так, имеем равные прямоугольные треугольники: (по общему катету и равному острому углу). Из равенства треугольников следует равенство катетов: .
Так, точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то есть это центр его вписанной окружности, что и требовалось доказать.
Поскольку РО – высота пирамиды, то треугольники АОВ, АОС, СОВ – это проекции треугольников АРВ, АРС и ВРС соответственно. Имеем (основываясь на задаче 2):
Выполним сложение полученных выражений.
Что и требовалось доказать.
6. Решение задачи на четырехугольную пирамиду
Задача 1
Основанием пирамиды является квадрат ABCD со стороной 4 см, высота – отрезок . найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение.
Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1
МА⊥АВС. Прямоугольные треугольники МАВ и MAD равны по двум катетам, отсюда . Треугольники МCD и МСВ равны по трем сторонам. Отсюда:
AD – проекция прямой MD на плоскость АВС, AD⊥DC⇒MD⊥DC, отсюда имеем прямоугольный треугольник MDC.
В прямоугольном треугольнике MAD найдем по теореме Пифагора гипотенузу:
Найдем площадь рассматриваемого прямоугольного треугольника:
Рассмотрим прямоугольный треугольник MDC и найдем его площадь:
Так, имеем ответ:
.
6. Свойства правильных многоугольников
Геометрические свойства пирамиды во многом определяются свойствами основания. Рассмотрим эти свойства:
Правильный треугольник (), рис. 2:
Рис. 2. Правильный треугольник
В правильном треугольнике радиус вписанной окружности (), радиус описанной окружности (), высота основания () связаны следующим образом:
.
Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный. Выразим из него высоту :
.
Квадрат (), рис. 3:
Рис. 3. Квадрат
Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и равны; (это можно найти например из прямоугольного равнобедренного треугольника АВС)
.
Правильный шестиугольник (), рис. 4:
Чтобы нарисовать правильный шестиугольник, удобно пользоваться следующим алгоритмом (рисунок 4):
Построить окружность (зеленая пунктирная линия); Провести диаметр (синяя пунктирная линия); Отметить середины радиусов построенного диаметра; Провести через середины перпендикуляры (красные пунктирные линии); Получены вершины шестиугольника – построить шестиугольник.
Рис. 4. Правильный шестиугольник
7. Решение обобщенной задачи на правильную треугольную пирамиды
Рассмотрим обобщенную задачу на правильную треугольную пирамиду.
Задача 2
В правильной треугольной пирамиде сторона основания , высота . Найти апофему , боковое ребро l, площадь боковой поверхности, тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания, угол между АВ и CD. Построить общий перпендикуляр к прямым АВ и CD.
Решение. Проиллюстрируем:
Рис. 5. Иллюстрация к задаче 2
Правильная треугольная пирамида полностью задается двумя элементами, в данном случае стороной основания и высотой. Мы подробно рассмотрели свойства правильного треугольника и определили выражение радиусов вписанной и описанной окружностей через высоту. Так, в прямоугольных треугольниках и DOC нам известен их общий катет – высота пирамиды , известны и вторые катеты: . Можем найти гипотенузы по теореме Пифагора.
Гипотенуза является искомой апофемой, гипотенуза DС – боковым ребром пирамиды.
Напомним, что углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Нам необходимо найти тангенс угла наклона бокового ребра к основанию пирамиды. Т. е. нам необходимо найти . Напомним, что тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего ему катета к прилежащему. Имеем:
Осталось найти угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD. Докажем, что этот угол равен . СО есть проекция наклонной DC на плоскость АВС. Но СО (или ) перпендикулярна АВ, отсюда DC⊥AB.
Рис. 6. Построение общего перпендикуляра к скрещивающимся прямым
Построим общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым АВ и CD (рис. 6). Очевидно, что точка – середина ребра АВ. Проведем перпендикулярно DC.
Докажем, что .
Так, общим перпендикуляром к рассматриваемым скрещивающимся прямым является отрезок .
8. Решение нестандартной задачи на тетраэдр
Задача 3
В правильном тетраэдре расстояние между противоположными ребрами равно . Найти ребро тетраэдра.
Рис. 7. Иллюстрация к задаче 3
Правильный тетраэдр – это правильная треугольная пирамида, у которой боковое ребро равно ребру основания. То есть все ребра равны между собой. Обозначим искомую длину ребра за .
Пусть – середина АВ, М – середина DC. Тогда – медиана треугольника ADB. – медиана треугольника АВС. Поскольку эти треугольники равносторонние, медианы являются одновременно высотами.
АМ и ВМ – высоты в равных правильных треугольниках ADC и BDC соответственно. Отсюда треугольник АМВ равнобедренный.
– его медиана, проведенная к основанию, а значит, по свойству равнобедренного треугольника (является одновременно высотой). Аналогично – медиана в равнобедренном треугольнике , она является высотой и имеем . Отсюда заключаем: .
Рассмотрим треугольник АВМ.
Рис. 8. Иллюстрация к задаче 3
МВ – высота в равностороннем треугольнике со стороной , мы её рассматривали в свойствах равностороннего треугольника:
Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника :
.
Итак, были рассмотрены типовые задачи на тему «Пирамида», в частности, обобщенные задачи на правильный тетраэдр. Также мы вспомнили некоторые основные геометрические факты.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/mnogogranniki/ploschad-poverhnosti-piramidy
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/mnogogranniki/reshenie-zadach-po-teme-piramida
http://www.youtube.com/watch?v=KUjteuATOBU
http://www.youtube.com/watch?v=HDfThSrvLIs&feature=player_embedded
http://www.youtube.com/watch?v=QGVG68Qc8Js
http://www.youtube.com/watch?v=ZBjdue2oowU
http://www.youtube.com/watch?v=Mwu_8lz2Sxw
http://www.youtube.com/watch?v=AGGEQqXy6Fo
http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-060*page.htm
http://www.otbet.ru/book/class-10/geometria/uchebnik-glazkov-yu-a-testy-po-geometrii/