10 класс. Геометрия. Многогранники. Площадь поверхности пирамиды. Решение задач по теме

Комментарии преподавателя

http://ppt4web.ru/geometrija/pravilnaja-piramida1.html1. Пирамида, основные понятия и элементы

Вспомним понятие n-угольной пирамиды. Она получается следующим образом: в плоскости  лежит n-угольник с вершинами  и т. д. Вне плоскости  лежит точка Р. Точка Р соединяется с вершинами n-угольника – получаем пирамиду (рисунок 1).

Рис. 1. Пирамида

Определение.

Многогранник , составленный из n-угольника  и n треугольников , … называется пирамидой.

Площадь поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания:

2. Площадь основания пирамиды, площади основных правильных многоугольников

Рассмотрим нахождение площади основания правильной n-угольной пирамиды. Правильный n-угольник, как нам известно, имеет равные стороны и равные внутренние углы. Решим следующую задачу: для n-угольника с заданной длиной стороны () и количеством углов (n) найти площадь (рисунок 2).

Рис. 2. Нахождение площади n-угольника

Рассмотрим треугольник , в нем найдем угол . Таких углов всего n штук, значит:

Половина этого угла, угол .

Треугольник , где М – середина стороны , прямоугольный. В нем ОМ – радиус вписанной в n-угольник окружности,  – радиус описанной окружности. Поскольку у нас задан по условию катет рассматриваемого прямоугольного треугольника () и мы нашли острый угол (), то по соотношениям в прямоугольном треугольнике мы легко найдем все остальные элементы.

Чтобы найти площадь n-угольника, нужно сложить n площадей треугольников вида . Чтобы найти площадь этого треугольника, найдем катет ОМ прямоугольного треугольника :

Площадь треугольника определяется по формуле:

Теперь получим площадь всего n-угольника:

Рассмотрим наиболее распространенные частные случаи:

Площадь правильного треугольника:

Площадь квадрата:

Площадь правильного шестиугольника:

Чтобы нарисовать правильный шестиугольник, удобно пользоваться следующим алгоритмом (рисунок 3):

Построить окружность (зеленая пунктирная линия) Провести диаметр (синяя пунктирная линия) Отметить середины радиусов построенного диаметра Провести через середины перпендикуляры (красные пунктирные линии) Получены вершины шестиугольника – построить шестиугольник.

Рис. 3. Правильный шестиугольник

Чтобы найти площадь правильного шестиугольника действуем стандартным методом. Рассматриваем треугольник АОС, в нем находим угол ∠АОВ, таких углов шесть, имеем:

Поскольку отрезки ОА и ОВ равны, то углы ∠ОАВ и ∠ОВА также составляют по . Так, рассматриваемый треугольник правильный. Его площадь нам известна:

Площадь шестиугольника состоит из шести таких площадей:

3. Площадь боковой поверхности пирамиды

Рассмотрим нахождение площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Где  – периметр основания;  – апофема.

Определение.

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Задача 1

В правильной треугольной пирамиде известна сторона основания и высота. Найти площадь боковой поверхности.

Решение. Проиллюстрируем условие задачи:

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 1

Задана правильная пирамида с вершиной Р и основанием АВС. РН – высота пирамиды, РО – апофема. Сторона основания равняется . высота равняется . Высота и сторона основания полностью задают правильную пирамиду.

По вышеприведенной формуле для того, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, необходимо найти ее апофему и полупериметр основания. Периметр основания нам известен, так как задана сторона основания. Найдем апофему из прямоугольного треугольника РНО. Один из катетов задан по условию – . Найдем второй катет ОН, он соответствует радиусу вписанной в треугольник окружности, формула нам известна:

Найдем апофему по теореме Пифагора:

Теперь можем найти площадь боковой поверхности пирамиды:

4. Связь площади треугольника с площадью его проекции

Площадь боковой поверхности и площадь основания пирамиды связаны через величину двугранного угла при основании.

5. Решение задач

Задача 2

РН – перпендикуляр к плоскости треугольника АВН. Из точки Н опущен перпендикуляр НМ к прямой АВ. . Доказать:

Решение. Проиллюстрируем условие:

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 2

Треугольник АВН – это проекция треугольника АВР. Нужно доказать, что площадь проекции есть площадь исходного треугольника на косинус двугранного угла между ними. Поскольку НМ – перпендикуляр к АВ, то и РМ – перпендикуляр к АВ по теореме о трех перпендикулярах. Значит, угол  – это линейный угол двугранного угла с ребром АВ. АВР – часть боковой поверхности, АВН – часть основания.

Найдем отношение площадей интересующих нас треугольников:

Рассмотрим прямоугольный треугольник РНМ. В нем РМ – гипотенуза, НМ – катет, прилежащий к заданному углу . Отсюда заключаем:

Что и требовалось доказать.

Задача 3

Доказать для правильной треугольной пирамиды: , где  – угол наклона боковой грани к основанию.

Решение. Проиллюстрируем условие:

 

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 3

Задана правильная треугольная пирамида РАВС с основанием АВС и вершиной Р.  – линейный угол двугранного угла с ребром АВ, точкой Р в одной плоскости и точкой С в другой плоскости.

Очевидно, что угол наклона  боковой грани к основанию пирамиды одинаков для всех боковых граней, то есть если  и  – середины отрезков ВС, АС и АВ соответственно, то: .

В задаче 2 мы доказали: .

Аналогично:

Выполним сложение полученных выражений.

Что и требовалось доказать.

Задача 4

Боковые грани пирамиды РАВС наклонены к основанию под одним и тем же углом . Докажите, что вершина пирамиды Р проектируется в центр О вписанной в треугольник АВС окружности и что .

Решение. Проиллюстрируем условие задачи:

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 4

Пусть РО – высота пирамиды. Найдем место расположения точки О. Из точки О опустим перпендикуляры к сторонам треугольника АВС – .

Поскольку  – перпендикуляр к АВ, то по теореме о трех перпендикулярах . Аналогично:  и . Тогда  – линейный угол двугранного угла при ребре АВ,  – линейный угол двугранного угла при ребре ВС,  – линейный угол двугранного угла при ребре АС. По условию . Так, имеем равные прямоугольные треугольники:  (по общему катету и равному острому углу). Из равенства треугольников следует равенство катетов: .

Так, точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то есть это центр его вписанной окружности, что и требовалось доказать.

Поскольку РО – высота пирамиды, то треугольники АОВ, АОС, СОВ – это проекции треугольников АРВ, АРС и ВРС соответственно. Имеем (основываясь на задаче 2):

Выполним сложение полученных выражений.

Что и требовалось доказать.

6. Решение задачи на четырехугольную пирамиду

Задача 1

Основанием пирамиды является квадрат ABCD со стороной 4 см, высота – отрезок . найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1

МА⊥АВС. Прямоугольные треугольники МАВ и MAD равны по двум катетам, отсюда . Треугольники МCD и МСВ равны по трем сторонам. Отсюда:

AD – проекция прямой MD на плоскость АВС, AD⊥DC⇒MD⊥DC, отсюда имеем прямоугольный треугольник MDC.

В прямоугольном треугольнике MAD найдем по теореме Пифагора гипотенузу:

Найдем площадь рассматриваемого прямоугольного треугольника:

Рассмотрим прямоугольный треугольник MDC и найдем его площадь:

Так, имеем ответ:

.

 

6. Свойства правильных многоугольников

Геометрические свойства пирамиды во многом определяются свойствами основания. Рассмотрим эти свойства:

Правильный треугольник (), рис. 2:

Рис. 2. Правильный треугольник

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности (), радиус описанной окружности (), высота основания () связаны следующим образом:

.

Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный. Выразим из него высоту :

.

Квадрат (), рис. 3:

Рис. 3. Квадрат

Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и равны;  (это можно найти например из прямоугольного равнобедренного треугольника АВС)

.

Правильный шестиугольник (), рис. 4:

Чтобы нарисовать правильный шестиугольник, удобно пользоваться следующим алгоритмом (рисунок 4):

Построить окружность (зеленая пунктирная линия); Провести диаметр (синяя пунктирная линия); Отметить середины радиусов построенного диаметра; Провести через середины перпендикуляры (красные пунктирные линии); Получены вершины шестиугольника – построить шестиугольник.

Рис. 4. Правильный шестиугольник

7. Решение обобщенной задачи на правильную треугольную пирамиды

Рассмотрим обобщенную задачу на правильную треугольную пирамиду.

Задача 2

В правильной треугольной пирамиде сторона основания , высота . Найти апофему , боковое ребро l, площадь боковой поверхности, тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания, угол между АВ и CD. Построить общий перпендикуляр к прямым АВ и CD.

Решение. Проиллюстрируем:

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 2

Правильная треугольная пирамида полностью задается двумя элементами, в данном случае стороной основания и высотой. Мы подробно рассмотрели свойства правильного треугольника и определили выражение радиусов вписанной и описанной окружностей через высоту. Так, в прямоугольных треугольниках  и DOC нам известен их общий катет – высота пирамиды , известны и вторые катеты: . Можем найти гипотенузы по теореме Пифагора.

Гипотенуза  является искомой апофемой, гипотенуза DС – боковым ребром пирамиды.

Напомним, что углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. Нам необходимо найти тангенс угла наклона бокового ребра к основанию пирамиды. Т. е. нам необходимо найти . Напомним, что тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего ему катета к прилежащему. Имеем:

Осталось найти угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD. Докажем, что этот угол равен . СО есть проекция наклонной DC на плоскость АВС. Но СО (или ) перпендикулярна АВ, отсюда DC⊥AB.

Рис. 6. Построение общего перпендикуляра к скрещивающимся прямым

Построим общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым АВ и CD (рис. 6). Очевидно, что точка  – середина ребра АВ. Проведем  перпендикулярно DC.

Докажем, что .

Так, общим перпендикуляром к рассматриваемым скрещивающимся прямым является отрезок .

8. Решение нестандартной задачи на тетраэдр

Задача 3

В правильном тетраэдре расстояние между противоположными ребрами равно . Найти ребро тетраэдра.

Рис. 7. Иллюстрация к задаче 3

Правильный тетраэдр – это правильная треугольная пирамида, у которой боковое ребро равно ребру основания. То есть все ребра равны между собой. Обозначим искомую длину ребра за .

Пусть  – середина АВ, М – середина DC. Тогда  – медиана треугольника ADB.  – медиана треугольника АВС. Поскольку эти треугольники равносторонние, медианы являются одновременно высотами.

АМ и ВМ – высоты в равных правильных треугольниках ADC и BDC соответственно. Отсюда треугольник АМВ равнобедренный.

 – его медиана, проведенная к основанию, а значит, по свойству равнобедренного треугольника  (является одновременно высотой). Аналогично  – медиана в равнобедренном треугольнике , она является высотой и имеем . Отсюда заключаем: .

Рассмотрим треугольник АВМ.

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 3

МВ – высота в равностороннем треугольнике со стороной , мы её рассматривали в свойствах равностороннего треугольника:

Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника :

.

Итак, были рассмотрены типовые задачи на тему «Пирамида», в частности, обобщенные задачи на правильный тетраэдр. Также мы вспомнили некоторые основные геометрические факты.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/mnogogranniki/ploschad-poverhnosti-piramidy

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/mnogogranniki/reshenie-zadach-po-teme-piramida

http://www.youtube.com/watch?v=KUjteuATOBU

http://www.youtube.com/watch?v=HDfThSrvLIs&feature=player_embedded

http://www.youtube.com/watch?v=QGVG68Qc8Js

http://www.youtube.com/watch?v=ZBjdue2oowU

http://www.youtube.com/watch?v=Mwu_8lz2Sxw

http://www.youtube.com/watch?v=AGGEQqXy6Fo

http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-060*page.htm

http://www.otbet.ru/book/class-10/geometria/uchebnik-glazkov-yu-a-testy-po-geometrii/

Файлы